§ 158. Общее изменение объема, связанное с начальными напряжениями

Рассуждения, приведенные в § 157, показывают, что перемещения и, которые в действительности возникают в теле, когда в каждом его элементе существуют несовместные компоненты деформации (а), совпадают с теми, которые возникают в обычном упругом теле при действии объемных сил (д) и поверхностных сил (е). Однако некоторые общие особенности такой деформации можно вывести из условий равновесия в предположении, что после введения деформаций (а) поведение элементов подчиняется закону Гука. Рассмотрим, например, тело, в котором имеются начальные напряжения причем тело в целом свободно от каких-либо нагрузок или связей (рис. 233). Для любой части тела, находящейся справа от плоского сечения А А, параллельного плоскости равновесие требует, чтобы

Рис. 233.

Интегрируя это равенство сперва для диска толщиной а затем по всему объему, получаем

Подобным образом должны обратиться в нуль объемные интегралы от компонент напряжения Отсюда

Из закона Гука следует, что полное изменение объема, отвечающее деформациям, вызванным этими компонентами напряжения, равно нулю. Истинное полное изменение объема вызывается в силу этого несовместными компонентами деформации (а) из § 157, относящимися к разделенным элементам.

Отсюда выражение для изменения объема при простом температурном расширении имеет вид

как уже было показано другим путем в виде формулы ,(б) § 155.

Возвращаясь к уравнению (б) и ему сопутствующим, мы видим, что объемный интеграл по всему телу от любой линейной функции компонент напряжения должен быть равен нулю. Следовательно, любая линейная зависимость между компонентами напряжения и деформации обеспечивает равенство нулю объемного интеграла от любой компоненты деформации. При этом не требуется изотропии материала; в частности, равно нулю и изменение объема материала, вызываемое таким напряженным состоянием.

Дальнейшие соотношения с очевидностью следуют из условий равновесия моментов в сечениях типа А А, показанного на рис. 233.