§ 139. Нагрузка, распределенная по части границы полубесконечного тела

Имея решение для сосредоточенной силы, действующей на границе полубесконечного тела, мы можем найти перемещения и напряжения, вызванные распределенной нагрузкой, с помощью суперпозиции. В качестве простого примера возьмем случай равномерной нагрузки, распределенной по поверхности круга радиуса а (рис. 208), и рассмотрим перемещение в направлении действия нагрузки точки находящейся на поверхности тела на расстоянии от центра круга. Взяв малый элемент нагруженной площади (на рисунке заштрихован), который ограничен

двумя радиусами, заключающими угол и двумя дугами окружности с радиусами и и центром в той же точке получаем, что нагрузка на рассматриваемый элемент равна Соответствующее перемещение точки М, согласно уравнению (215), составляет

Полное перемещение получится теперь с помощью двойного интегрирования

Рис. 208.

Интегрируя по и учитывая тот факт, что длина хорды равна находим

где — максимальное значение т. е. угол между и касательной к окружности. Вычисление интеграла (а) можно упростить, если ввести вместо переменной угол Согласно рис. 208 имеем

откуда

Подставляя это значение в формулу (а) и учитывая, что когда меняется от 0 до то меняется от 0 до , находим

Интегралы, входящие в это равенство, называются полными

эллиптическими интегралами, и их значения для любых отношений можно взять из таблиц.

Чтобы получить смещение на границе нагруженного круга, положим в формуле и найдем

Если точка М находится внутри нагруженного круга (рис. 209, а), можно снова рассмотреть смещение, вызванное заштрихованным элементом, на который действует нагрузка

Рис. 209.

Тогда полное смещение равно

Длина хорды равна меняется от 0 до поэтому

или, поокольку

Таким путем легко найти смещения для любого отношения используя таблицы эллиптических интегралов. Максимальное смещение имеет место, разумеется, в центре круга. Подставляя

в формулу (218), находим

Сравнивая это значение со смещением на границе круга, находим, что последнее меньше максимального в раза Интересно отметить, что при заданной интенсивности нагрузки максимальное смещение не будет постоянным, а будет увеличиваться в том же отношении, что и радиус нагруженного круга.

Используя принцип суперпозиции, можно также найти напряжения. Рассмотрим, например, напряжения в точке, принадлежащей оси (рис. 209, б). Напряжение вызываемое в такой точке нагрузкой, распределенной по кольцу радиуса и шириной получается путем подстановки во второе уравнение вместо Р. Тогда напряжение вызываемое равномерной нагрузкой, распределенной внутри круговой области радиуса а, равно

Это напряжение равно на поверхности тела и постепенно уменьшается с увеличением расстояния При определении напряжений в той же точке рассмотрим два элемента 1 и 2 нагруженной площади (рис. 209, б) с нагрузками Напряжения, вызываемые этими двумя элементарными нагрузками в некоторой точке на оси z, согласно первому и третьему из уравненией (211) равны

Нормальные напряжения, вызываемые в тех же плоскостях

элементарными нагрузками в точках , составляют

Складывая соотношения (в) и (г), находим, что четыре элементарных нагрузки, показанные на рисунке, вызывают напряжения

Чтобы получить напряжения, вызываемые всей нагрузкой, равномерно распределенной но площади круга радиуса , проинтегрируем выражение (д) по в пределах от 0 до и по от 0 до а. Отсюда

Для точки 0 центра нагруженного круга из формул (б.) и (е) находим

Полагая получаем Максимальное касательное напряжение в точке О, действует по плоскостям, проходящим под углом 45° к оси и равно 0,17. Предполагая, что течение материала определяется максимальным касательным напряжением, можно показать, что точка О, рассмотренная выше, не является самой неблагоприятной точкой на оси Максимальное касательное напряжение в любой точке на оси z (рис. 209, б), согласно уравнениям (б) и (е), равно

Это выражение принимает максимальное значение, когда

откуда

Подставлая это значение в выражение (ж), имеем

Полагая находим из уравнений (и) и (к)

Это показывает, что максимальное касательное напряжение для точек, расположенных на оси z, достигается на определенной глубине, приближенно равной двум третям радиуса нагруженного круга, а величина этого максимума составляет около одной трети приложенного равномерного давления q.

Для случая равномерного давления, распределенного по поверхности квадрата со сторонами максимальное перемещение центре составляет

Перемещения по углам квадрата составляют лшиь половину перемещения в центре, а среднее перемещение равно

Аналогичные расчеты можно проделать и для равномерного давления распределенного ярямоугольнюку при различных отношениях старон Все эти результаты можно представнть в форме

где - числовой коэффициент, зависящий от а, А — величина площади нагруженной области, Р — полная нагрузка. Некоторые значения коэффициента приведены в табл. 10. Мы убеждаемся, что при заданной нагруаке Р и площади А перемещения увеличиваются с уменьшением отношения периметра нагруженной области к площади. Уравнение (222) иногда используется при исследовании осадок фундаментов инженерных сооружений. Чтобы получить для разных частей сооружения одинаковые осадки, среднее давление на основание должно находиться в некоторой зависимости от формы и размеров нагруженной области.

ТАБЛИЦА 10. Коэффициенты в формуле (222) (см. скан)

В предшествующих рассуждениях предполагалось, что нагрузка задана, и разыскивались перемещения, вызываемые этой нагрузкой. Рассмотрим теперь случай, когда заданы перемещения и требуется найти соответствующее распределение давлений по плоскости границы. Возьмем, например, случай, жесткого штампа в виде круглого цилиндра, вдавливаемого в плоскую границу полубесконечного упругого тела. В таком случае перемещением по всей площади кругового основания цилиндра постоянно. Распределение давления при этом непостоянно, и его интенсивность определяется формулой

где Р — полная нагрузка на штамп, а — радиус штампа, а - расстояние от центра круга, на котором действует давление. Это распределение давления, очевидно, не является равномерным, и его минимальное значение имеет место в центре где

т. е. равно половине среднего давления на круговой области контакта. На границе области давление становится бесконечным. Практически вдоль границы происходит течение материала. Это течение носит, однако, местный характер и несущественно влияет на распределение давления (223) в точках, находящихся на некотором расстоянии от границы круга.

Перемещение штампа определяется формулой

Мы видим, что при заданном значении среднего давления на граничной плоскости, перемещение не постоянно, а увеличивается пропорционально радиусу штампа.

Для сравнения приведем также формулу для среднего перемещения в случае равномерного распределения давления (см. формулу (218))

Это среднее перемещение не очень сильно отличается от перемещения (224) для абсолютно жесткого штампа. Опубликовано много решений для некруговых штампов; в том числе решения некоторых динамических задач для движущихся штампов.