§ 8. Бигармоническое уравнение

Мы видели (стр. 50), что в случае двумерных задач теории упругости при отсутствии объемных сил и при заданных усилиях на границе напряжения определяются функцией напряжений которая удовлетворяет бигармоническому уравнению

и граничным условиям (20), которые в данном случае принимают вид

Зная усилия, распределенные вдоль границы, мы можем с помощью интегрирования уравнений (35) найти функцию Таким образом, задача сводится к определению функции которая удовлетворяет уравнению (34) в каждой точке внутри области, а на

границе принимает вместе со своими первыми производными заданные значения. Используя метод конечных разностей, примем квадратную сетку (рис. 18) и преобразуем уравнение (34) к конечноразностному виду. Зная выражения для вторых производных

заключаем, что

Подобным образом находим

Подставляя эти выражения в уравнение (34), получаем требуемое уравнение в конечных разностях

Рис. 18.

Это уравнение должно удовлетворяться в каждой узловой точке сетки внутри границы пластинки. Чтобы найти граничные значения функции напряжений проинтегрируем уравнения (35). Учитывая, что

запишем уравнения (35) в следующей форме:

После интегрирования получим

Чтобы найти воспользуемся уравнением

которое после интегрирования по частям дает

Подставляя в это равенство значения производных, определяемые уравнениями (37) и (38), мы можем найти граничные значения Следует заметить, что при определении первых производных по формуле (38) появятся две постоянные интегрирования, скажем, А и В, а интегрирование в уравнении (39) введет третью постоянную, скажем, С, в силу чего окончательное выражение для будет содержать линейную функцию . Поскольку компоненты напряжений представляются вторыми производными от функции эта линейная функция не повлияет на распределение напряжений, и постоянные А, В, С можно выбрать произвольно.

По граничным значениям функции и ее первых производных мы можем определить приближенные значения в узловых точках сетки вблизи границы, например в точках А, С и Е на рис. 19. Имея, например, в точке В значения получаем

Рис. 19.

Подобные же формулы можно записать также для точки Е. Мы получим для этих величин несколько лучшую аппроксимацию ниже, когда на основе дальнейших расчетов станет приближенно известна форма поверхности, представляющей функцию напряжений Отыскав приближенные значения в узловых точках вблизи границы и выписав для остальных узлов точек, расположенных внутри области уравнения в форме (36), получим систему линейных уравнений, достаточную для определения всех узловых значений функции Затем для приближенного вычисления напряжений можно использовать вторые разности функции

Систему уравнений (36) можно решить непосредственно или найти ее приближенное решение с помощью одного из описанных выше процессов. Мы проиллюстрируем различные методы решения

на простом примере квадратной пластинки, нагруженной, как показано на рис. 20.

Приняв координатные оси согласно этому рисунку, определим граничные значения функции отправляясь от начала координат.

Рис. 20. (см. скан)

От до к границе не приложено никаких усилий; отсюда

Интегрирование этих уравнений дает

Здесь А, В, С постоянны вдоль оси , как уже отмечалось ранее, их можно выбрать произвольно. Положим

Тогда функция вдоль ненагруженной части нижней стороны пластинки обращается в нуль, что обеспечивает симметрию функции относительно оси у. Начиная с точки и до на нижней стороне пластинки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью и уравнения (38) дают

Второе интегрирование дает зависимость

Постоянные интегрирования можно определить из условий, что для точки , общей точки обеих частей границы, значения вычисленные слева и справа, должны совпадать. Отсюда

и мы получаем

Функция напряжений на участке границы от до должна представляться параболой

В углу пластинки получаем

Вдоль вертикальной стороны пластинки усилий не приложено, и, исходя из уравнения (38), заключаем, что вдоль этой стороны значения должны быть теми же, что и в нижнем углу, т. е.

Отсюда следует, что вдоль вертикальной стороны пластинки функция остается постоянной. Эта постоянная должна быть равна как было найдено выше для нижнего угла.

Вдоль ненагруженной части верхней стороны пластинки первые производные от остаются постоянными и будут иметь то же значение (в), которое вычислено для верхнего угла. Таким образом, функция напряжений будет иметь вид

Поскольку в верхнем левом углу функция должна иметь ранее вычисленное значение, равное приходим к выводу, что и что функция напряжений имеет вид

Рассматривая теперь нагруженную часть верхней стороны пластинки и учитывая, что для этой части из уравнений (38) получаем

При эти величины должны совпадать с величинами, определяемыми по формулам (в). Отсюда и функция напряжений должна иметь форму

При она должна принимать значение, равное получаемому по формуле (г). Отсюда заключаем, что и

Эта функция напряжений представляется параболой, симметричной относительно оси у. Тем самым заканчивается определение значений функции и ее первых производных на границе пластинки, так как для правой части границы все эти величины определяются по симметрии.

Пользуясь обозначениями

мы можем теперь записать все вычисленные значения функции на границе, как показано на рис. 20.

Далее с помощью экстраполяции найдем значения для узловых точек, расположенных вне границы. Начиная вновь с нижней стороны пластинки и учитывая, что вдоль этой стороны обращается в нуль, примем для только что названных точек те же значения что и для внутренних точек, смежных с границей. Таким же образом поступаем и с верхней стороной пластинки. Вдоль вертикальной стороны пластинки имеем значение производной

и можем в качестве приближенных значений получить величины функции для точек вне контура, вычитая величину

из значений для внутренних точек, смежных с границей (см. рис. 20).

Теперь можно начать вычисление значений для внутренних узлов сетки. Используя метод прямого решения разностных уравнений, мы должны в симметричном случае выписать уравнения (36) для 15 точек, показанных на рис. 20. Решение этих уравнений дает значения представленные в табл. 1.2.

Таблица 1.2 (см. скан)

Вычислим нормальное напряжение вдоль оси у. Значения этого напряжения определяются второй производной Используя конечные разности, поручаем для Еерхней точки

Для нижней точки находим

Рис. 21.

Если рассматривать пластинку как балку на двух опорах и предположить линейное распределение по поперечному сечению то найдем Мы видим, что для пластинки таких пропорций обычная формула элементарной теории изгиба дает совершенно неудовлетворительный результат.

Для решения конечно-разностных уравнений (36) методом итераций примем некоторые начальные значения функции напряжения Подставляя их в уравнения (36), получим остаточные усилия для всех внутренних точек, которые можно затем устранить методом релаксации. Соответствующая

схема, полученная из уравнений (36), показана на рис. 21, где даны изменения остаточных усилий, вызванных единичным изменением значения При применении этого метода к квадратным пластинкам, рассмотренным выше, следует учитывать, что значения вдоль границы подчиняются граничным условиям; это означает, что остаточные усилия в точках на границе устранять не нужно.

Рис. 22.

Теперь можно перейти к более мелкой сетке, взяв начальные значения из результатов вычислений для грубой сетки.

В случае несимметричного нагружения, например такого, как показано на рис. 22, а, мы можем разбить нагрузку, согласно рис. и в, на симметричную и антисимметричную части.

Рис. 23.

В обоих случаях нам достаточно рассматривать лишь половину пластинки, так как для симметричного нагружения а для антисимметричного

Количество вычислений можно еще более сократить, если есть также симметрия прямоугольной пластинки относительно горизонтальной оси. Нагрузка, представленная на рис. 20, может

быть разложена на симметричную и антисимметричную части, как показано на рис. 23. Для каждого из таких случаев нагружения при определении функции напряжений достаточно рассматривать лишь одну четверть пластинки.