§ 62. Решения в эллиптических координатах. Эллиптическое отверстие в пластинке с однородным напряженным состоянием

Как было показано в § 60, эллиптические координаты показанные на рис. 115, определяются уравнениями

откуда

На эллипсе с полуосями координата постоянна и равна Если полуоси заданы величинами то с и можно найти по формулам

Следовательно, если задан один представитель из семейства эллипсов, то тем самым определено все семейство эллипсов, а также все семейство гипербол (см. стр. 193). Если величина очень мала, то соответствующий эллипс очень вытянут. В пределе при он становится отрезком прямой длиной соединяющим фокусы. Если принимать для все большие и большие положительные значения, эллипс становится все больше и увеличивается, приближаясь в пределе при к бесконечной окружности. Точка на любом эллипсе один раз обходит его контур, когда изменяется от нуля (на положительной оси х, рис. 115) до . В этом отношении напоминает угол в полярных координатах. Непрерывность компонент перемещения и напряжения требует, чтобы они были периодическими по с периодом в силу чего они будут иметь те же значения при какие они имели при

Рассмотрим теперь бесконечную пластинку в состоянии равномерного всестороннего растяжения возмущенного эллиптическим отверстием с полуосями а и контур отверстия предполагается свободным от напряжений. Эти условия означают, что

на эллиптической границе отверстия, где Из уравнений (87) и (89) находим, что условие (г) удовлетворяется, если

Так как в силу непрерывности компоненты напряжения и перемещения должны быть периодическими по с периодом нам следует рассмотреть такие формы которые дают

функцию напряжений с тем же периодом. Эти формы суть

где — целое число. Функция , где В — постоянная, также пригодна для этой задачи.

Из (а) видно, что при ведет себя как а такая форма требуется в родственной задаче о круговом отверстии (см. задачу 26, стр. 197).

При нимая где А — постоянная, и используя первое из уравнений (б) для нахождения производной обратной получаем

На бесконечном расстоянии от начала координат величина равна бесконечности, равен единице. Следовательно, первое из условий (е) удовлетворяется, если Из (ж) далее получаем

и

Принимая где В — постоянная, находим

Уравнения (к) и (л) показывают, что каждая из функций на бесконечности обращается в нуль. Следовательно, второе из условий (е) выполняется.

Условие (д) можно удовлетворить с помощью надлежащего выбора постоянной В. Вычитая уравнение (97) из равенства (96), получаем

где функция задается второй из формул (б). Отсюда

На границе эллиптического отверстия При этом (н) сводится к виду

В силу этого условие (д) удовлетворяется в том случае, если

Теперь мы получаем

Все граничные условия удовлетворены. Однако мы не можем быть уверены, что комплексные потенциалы (п) представляют решение нашей задачи до тех пор, пока мы не убедились, что они не вызывают разрывов в перемещении. Декартовы компоненты перемещения можно найти из уравнения (86), которое в данном случае приводит к зависимости

где , а В определяется выражением Гиперболические функции имеют действительную и мнимую части, периодические по Следовательно, если обойти любой эллиптический контур внутри пластинки, перемещения и и приобретут свои первоначальные значения. Это означает, что комплексные потенциалы (п) дают решение задачи.

Компонента напряжения на краю отверстия легко находится из уравнения (96), поскольку на контуре равно нулю. Внося значение из уравнения (ж) при получаем

Однако, согласно уравнению (в), стр. 180,

Отсюда

и на границе отверстия

Наибольшая величина получающаяся на концах главной оси, где принимает значения , а равна

Из уравнений (в) легко видеть, что

Отсюда находим, что

Эта величина все больше увеличивается по мере того, как эллипс становится уже.

Наименьшее значение получается на концах малой оси, где Отсюда

При то есть когда эллипс превращается в круг, становятся равными 25, что совпадает с решением для кругового отверстия при всестороннем растяжении, приведенным на стр. 107.

Задача о действии равномерного давления 5 внутри эллиптического отверстия с нулевыми напряжениями на бесконечности легко получается путем комбинации вышеприведенного решения с решением для однородного напряженного состояния получаемым исходя из комплексного потенциала