§ 140. Давление между двумя соприкасающимися сферическими телами

Результаты предыдущего параграфа можно использовать при исследовании распределения давления между двумя соприкасающимися телами. Предположим, что в точке контакта эти тела имеют сферические поверхности с радиусами (рис. 210). Если между телами не действует давление, то мы имеем касание в одной точке О. Расстояния от плоскости, касательной в точке О, до точек М и расположенных на меридиональном сечении сферы и находящихся на малом расстоянии от осей можно с достаточной точностью представить формулами

Взаимное расстояние между этими точками равно

В частном случае контакта сферы и плоскости (рис. 211, а) отношение равно нулю, и формула (б) для расстояния дает

В случае касания шара и сферической выемки (рис. 211,б) в (б) величина отрицательна, откуда

Рис. 210.

Рис. 211.

Если тела сжимаются вдоль нормали в точке О силой Р, в точке контакта возникнут местные деформации, приводящие к контакту по некоторой малой поверхности с круговой границей, называемой поверхностью контакта. Предполагая, что радиусы кривизны очень велики по сравнению с радиусом границы поверхности контакта, мы можем при исследовании поверхности контакта применить результаты, полученные ранее для полубесконечных тел. Обозначим через перемещение, вызванное местной деформацией в направлении точки М поверхности нижней сферы (рис. 210), и через — такое же перемещение в направлении для точки верхней сферы. Если считать, что в процессе местного сжатия плоскость касания в точке О остается неподвижной, то любые две точки тел, расположенные на осях на достаточно большом расстоянии от точки О, сблизятся друг с другом на некоторую величину а, а расстояние между точками М и (рис. 210) уменьшится на Если, наконец, вследствие местного сжатия точки М и войдут в область контакта, то получаем

где - постоянная, зависящая от радиусов и и определяемая уравнениями (б), (в) или (в). Таким образом, из геометрических соображений мы находим для любой точки поверхности контакта зависимость

Рассмотрим теперь местные деформации. Из условия симметрии интенсивность давления между соприкасающимися телами и соответствующие деформации симметричны относительно центра О поверхности контакта. Считая, что рис. 209, а изображает поверхность контакта и что М — точка на поверхности контакта нижней сферы, на основании предыдущего параграфа получим для перемещения этой точки формулу

где — упругие постоянные для нижней сферы и интегрирование производится по всей области контакта. Аналогичная формула справедлива и для верхней сферы. Отсюда

где

Из формул (д) и (е)

Следовательно, нам нужно найти выражение для которое удовлетворяло бы уравнению (и). Покажем, что это требование удовлетворяется, если предположить, что распределение давления по поверхности контакта определяется координатами полусферы радиуса а, построенной на поверхности контакта. Если — давление в центре О поверхности контакта, то

где — постоянный множитель, определяющий масштаб принятого распределения давления. Вдоль хорды давление меняется так, как показано на рис. 209 пунктирной полуокружностью. Производя интегрирование вдоль этой хорды, находим

где А — площадь полукруга, отмеченного пунктирной линией, равная Подставляя это значение в уравнение (и), находим, что

или

Это уравнение должно выполняться при любых значениях и следовательно, принятое распределение давления корректно лишь в том случае, если перемещение а и радиус поверхности контакта а определяются следующими соотношениями:

Значение максимального давления получается приравниванием суммы давлений по площади контакта сжимающей силы Р. Для полусферического распределения давления это дает

откуда

т. е. максимальное давление в полтора раза превышает среднее давление по поверхности контакта. Подставляя это значение в уравнения (227) и приняв, согласно формуле (б),

находим для двух соприкасающихся шаров (рис. 207) зависимости

Предполагая, что оба шара обладают одними и теми же упругими свойствами и принимая приведем эти зависимости к виду

Соответствующее максимальное давление

Для случая шара, вдавливаемого в плоскую поверхность с теми же, что и у шара, упругими постоянными, подставляя в выражения (230) и (231), получаем следующие формулы:

Считая отрицательным, мы можем также выписать уравнения для шара, вдавливаемого в сферическую выемку (рис. 211, б).

Зная размер поверхности контакта и действующие на нее давления, можно определить напряжения, пользуясь методом, изложенным в предыдущем параграфе. Результаты этих расчетов для точек, расположенных вдоль осей показаны на рис. 212.

За единицу напряжения принято максимальное давление в центре поверхности контакта. При измерении расстояний вдоль оси z за единицу принимается радиус поверхности контакта а.

Рис. 212.

Наибольшим напряжением является сжимающее напряжение в центре поверхности контакта, а два других главных напряжения в той же точке равны Следовательно, максимальное касательное напряжение, от которого зависит текучесть такого материала, как сталь, в этой точке сравнительно мало. Точка с максимальным касательным напряжением лежит на оси на глубине, равной примерно половине радиуса поверхности контакта. Эту точку для такого материала, как сталь, можно считать самой опасной. Максимальное касательное напряжение в этой точке при составляет около

Для хрупких материалов разрушение определяется максимальным растягивающим напряжением. Это напряжение действует на круговой границе поверхности контакта. Оно действует в радиальном направлении и имеет величину

Другое главное напряжение, действующее в окружном направо лении, численно равно приведенному выше радиальному напряжению, но противоположно ему по знаку. Следовательно, вдоль границы поверхности контакта, где нормальное давление на поверхности становится равным нулю, мы имеем чистый сдвиг величиной Полагая , получаем значение касательного напряжения Это напряжение намного меньше, чем максимальное касательное напряжение, вычисленное выше,

но больше касательного напряжения в центре поверхности контакта» где нормальное давление является наибольшим.

Многочисленные эксперименты подтвердили теоретические результаты Герца для материалов, следующих по закону Гука, и при напряжениях, не превышающих предела упругости.