§ 82. Главные оси деформаций

Из выражения (117) можно получить геометрическую интерпретацию изменения деформации в заданной точке. С этой целью отложим в направлении каждого линейного элемента (рис. 128) радиус-вектор длиной

Тогда, поступая так же, как в § 75, можно показать, что концы всех таких радиусов-векторов лежат на поверхности, описываемой уравнением

Форма и ориентация этой поверхности полностью определяются деформированным состоянием в данной точке и не зависят от направления осей координат. Всегда можно выбрать такие направления ортогональных осей координат, чтобы члены с произведениями координат в уравнении (119) исчезли, т. е. чтобы деформации сдвига для таких направлений обращались в нуль. Такие направления называются главными осями деформаций, соответствующие плоскости — площадками главных деформаций, а деформации в этих направлениях — главными деформациями. Из приведенных выше рассуждений ясно, что главные оси деформации остаются перпендикулярными друг другу и после деформации, а прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными главным плоскостям, и после деформации остается прямоугольным параллелепипедом. В общем случае он испытывает малое вращение.

Если оси х, у, z являются главными осями деформаций, то уравнение (119) принимает вид

В этом случае удлинение любого линейного элемента с направляющими косинусами согласно соотношению (117), выражается в виде

а деформация сдвига, отвечающая двум взаимно перпендикулярным направлениям согласно соотношению (118), определяется формулой

Таким образом, можно видеть, что деформации в любой точке полностью определены, если мы знаем направления главных осей деформаций и величины главных удлинений. Определение главных осей деформаций и главных удлинений можно проделать аналогично тому, как это сделано в § 77. Можно также показать, что сумма при повороте системы координат остается постоянной. Эта сумма имеет, как мы знаем простой физический смысл: она является относительным объемным расширением, вызванным деформацией в данной точке.