§ 168. Продольные волны в стержнях постоянного сечения. Элементарная теория

Простые плоские продольные волны, рассмотренные в § 167, могут существовать в стержне прямоугольного поперечного сечения только тогда, когда на боковых гранях действуют компоненты напряжений определяемые уравнениями (е). Для стержня произвольного поперечного сечения также требуется действие соответствующих усилий на боковой поверхности.

Если боковая поверхность стержня свободна от усилий, получить требуемые решения полных уравнений движения (269) гораздо труднее. Однако есть много практически интересных случаев, для которых справедлива значительно более простая теория. В этой элементарной теории предполагается, что каждый элемент стержня испытывает простое растяжение, отвечающее осевой деформации где и является функцией только от переменных х и t. Тогда

Другие компоненты напряжений считаются пренебрежимо малыми. Рассматривая элемент, который первоначально находится между поперечными сечениями (рис. 238), получаем уравнение движения в виде

или

где

Уравнение (б) имеет тот же вид, что и уравнение (275) § 167, и его общее решение можно представить так:

Интерпретация этого решения была дана ранее для уравнения (276). Однако в данном случае скорость распространения волны равна величине с, определяемой по формуле (278).

Рис. 238.

Рис. 239.

Она меньше скорости волны определяемой формулой (277). Отношение этих скоростей равно

При отношение Для стали можно принять

Если в уравнении (в) удерживается лишь функция (распространение прямой волны), то из этого уравнения и уравнения (а) имеем

тогда как при удержании одной лишь функции (распространение обратной волны) имеем

Результаты, выраженные формулами (278) и (г), можно получить и не обращаясь к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим равномерно распределенные сжимающие напряжения, внезапно приложенные к левому концу стержня (рис. 239). В первый момент они вызовут однородное сжатие бесконечно тонкого слоя на конце стержня. Это сжатие затем передается соседнему слою и т. д. Вдоль стержня с некоторой скоростью с начнет распространяться волна сжатия, и через промежуток времени часть

стержня длиной будет сжата, а остальная его часть будет находиться в состоянии покоя и будет свободна от напряжений.

Следует различать скорость распространения волны с и скорость сообщаемую частицам в сжатой зоне стержня сжимающими усилиями. Скорость частиц можно найти, если принять во внимание тот факт, что под действием сжимающих напряжений о заштрихованная на рисунке сжатая зона укорачивается на величину Следовательно, скорость левого конца стержня, равная скорости частиц в сжатой зоне, определится формулой

Скорость распространения волны, с можно найти, используя уравнение количества движения. Вначале заштрихованная часть стержня находится в покое. По прошествии промежутка времени она будет иметь скорость и количество движения Приравнивая это количество движения импульсу сжимающего усилия, получаем

Используя формулу (е), находим для с значение, определяемое формулой (278), а для скорости частиц получаем выражение

Это соотношение соответствует уравнению (г), в котором через и обозначена скорость частиц. Можно убедиться, что в то время, как скорость распространения волны с не зависит от сжимающего усилия, скорость частиц пропорциональна напряжению а.

Если к концу стержня вместо сжимающей внезапно приложена растягивающая нагрузка, то вдоль стержня со скоростью с будет распространяться растяжение. Скорость частиц снова определится формулой (279). Однако направление этой скорости будет противоположно направлению оси х. Таким образом, для волны сжатия скорость частиц направлена в ту же сторону, что и скорость распространения волны, а для волны растяжения скорость направлена в сторону, противоположную направлению распространения волны.

Из уравнений (278) и (279) получаем

Таким образом, напряжение на фронте волны определяется отношением обеих скоростей и модулем упругости Е материала. Если

абсолютно твердое тело, движущееся со скоростью производит продольный удар по левому концу стержня, то в начальный момент времени сжимающее напряжение на поверхности контакта определится формулой (280). Если скорость ударяющего тела превосходит некоторый предел, зависящий от механических свойств материала стержня, то даже если масса тела очень мала, в стержне возникнут остаточные деформации.

Рассмотрим теперь энергию для волны, показанной штриховкой на рис. 239. Эта энергия состоит из двух частей: энергии деформации, равной

и кинетической энергии, равной

Можно убедиться, что полная энергия волны, равная работе, производимой сжимающей силой действующей на расстоянии состоит наполовину из потенциальной, а наполовину из кинетической энергии.

Рис. 240.

Уравнение (б), определяющее распространение волн, линейно, в силу чего сумма двух решений этого уравнения также будет его решением. Отсюда следует, что при исследовании волн, распространяющихся вдоль стержня, можно использовать метод суперпозиции. Если встречаются две волны, распространяющиеся в разных направлениях (рис. 240), то получающиеся при этом напряжения и скорости частиц можно получить путем суперпозиции. Если, например, обе волны являются волнами сжатия, то, как показано на рис. 240, б, результирующие сжимающие

напряжения получаются путем простого сложения, а результирующие скорости частиц — путем вычитания. После прохождения рассматриваемого участка волны вернутся к своей первоначальной форме, как показано на рис. 240, в.

Рис. 242. (см. скан)

Рассмотрим волну сжатия, распространяющуюся вдоль стержня в направлении оси х, и волну растяжения той же длины и с той же величиной напряжения, распространяющуюся в противоположном направлении (рис. 241). Когда волны встречаются, сжатие и растяжение взаимно уничтожают друг друга, и в той части стержня, где обе волны накладываются друг на друга, напряжения отсутствуют. В то же время скорости частиц в этой части стержня удваиваются и становятся равными После прохождения рассматриваемого участка волны приобретают свою первоначальную форму, как показано на рис. 241, б. В среднем поперечном сечении напряжение все время будет равно нулю, и это сечение можно рассматривать как свободный конец стержня (рис. 241, в). Сравнивая рис. 241, а и б, отсюда можно сделать

вывод, что в случае свободного конца волна сжатия отражается в виде подобной ей волне растяжения и наоборот.

Если две одинаковые волны, движущиеся навстречу друг другу, рис. 242, а, встречаются, то в той части стержня, где эти волны накладываются друг на друга, возникнут удвоенные напряжения, а скорости будут равны нулю. В среднем поперечном сечении скорость всегда будет равна нулю. При прохождении волн это сечение остается неподвижным и его можно рассматривать как заделанный конец стержня (рис. 242, в). Из сравнения рис. 242, а и б можно сделать вывод, что волна, отразившись от заделанного конца стержня, совершенно не меняется.