§ 117. Винтовые дислокации

В двух предыдущих параграфах мы учитывали требование, чтобы функция была однозначной, если она конкретным образом представляет состояние кручения. Обращаясь вновь к уравнениям (149), (150), (151) и граничному условию (152), легко видеть, что можно найти напряженные состояния, отвечающие условию Функция напряжений должна удовлетворять уравнению Лапласа и быть постоянной на каждой из границ поперечного сечения. Однако вместо выражения в уравнении (б) на стр. 301 мы используем Тогда равенства (е) на стр. 302 примут вид

Это — уравнения Коши—Римана (см. стр. 181) для функций и . Следовательно, будет аналитической функцией переменного Отсюда

Задание функции соответствует определенному состоянию, в котором будет единственной ненулевой компонентой перемещения.

Обозначим через полярные координаты в плоскости поперечного сечения. Функция вида

где А — действительная постоянная, представляет особый интерес в дислокационной теории пластических деформаций (см. § 34). Согласно формуле (б) имеем

Соответствующее касательное напряжение действует в окружном направлении и определяется полярными компонентами

Любая цилиндрическая граничная поверхность свободна от нагрузки. Однако перемещение не является непрерывным. Мы можем применить данное решение к полому цилиндру (рис. 176), имеющему разрез по оси. Одна из граней разреза смещена вдоль оси цилиндра относительно другой, причем ей придано постоянное перемещение

получаемое из первого соотношения (г). Напряжение (д) можно рассматривать как вызванное наложением относительного перемещения на состояние, полученное в результате действия касательной нагрузки по концам, определяемой условиями (д). Эта нагрузка вызывает момент

Рис. 176.

Равный по величине и противоположный по знаку момент можно ввести, накладывая состояние простого кручения (§ 101) с компонентами

при . Окончательно получаем напряжение

возникновение которого можно приписать относительному перемещению (е) при нулевом моменте на конце. По концам по-прежнему действует касательное напряжение, распределенное согласно формуле (ж). Поскольку результирующая этого напряжения обращается в нуль, согласно принципу Сен-Венана удаление этих напряжений будет иметь лишь местный эффект.

Это конечное состояние в материаловедении называется вантовой дислокацией. Полый цилиндр с разрезом может обладать шестью различными видами дислокаций, в каждом из которых деформация при пересечении разреза остается непрерывной. Винтовая дислокация, краевая дислокация из § 34, щелевая дислокация из § 34, примененная к тому же разрезу, и угловая дислокация из § 31 (рис. 45) представляют собой четыре из этих шести видов.