§ 16. Уравнения совместности
Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть такцм, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения 
недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой: чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела.
Математическая формулировка условий совместности распределения напряжений с существованием непрерывных функций 
определяющих деформацию, будет получена из уравнений (2). Для двумерных задач мы рассмотрим три компоненты деформации, а именно
Эти три компоненты деформации выражаются через две функции и и 
Следовательно, они не могут выбираться произвольно и должно существовать некоторое соотношение между компонентами деформации; его можно легко получить из (а). Дифференцируя первое из уравнений (а) дважды по у, второе дважды по х, а третье — один раз по х и второй раз по у, находим
Это дифференциальное уравнение, называемое условием совместности, должно удовлетворяться при подстановке компонент
деформации, чтобы обеспечить существование функций и и 
связанных с компонентами деформации соотношениями (а). Используя закон Гука (3), можно, преобразовав условие (21), получить соотношение, которому должны удовлетворять компоненты напряжения.
В случае плоского напряженного состояния (§ 8) выражения (3) принимают вид
Подставляя эти выражения в уравнение (21), находим
Уравнение (б) можно переписать в другой форме, если воспользоваться уравнениями равновесия. Для частного случая, когда единственной объемной силой является вес тела, дифференцируя первое из уравнений (19) по х, а второе по у, и складывая их, получаем
Подставляя этот результат в уравнение (б), получаем условие совместности в напряжениях в виде
В общем случае, используя таким же образом уравнения равновесия (18), находим
В случае плоской деформации (§ 9) имеем
Используя это соотношение, из закона Гука (3) находим 
Подставляя найденные выражения в уравнение (21) и используя, как и рацее, уравнения равновесия (19), мы видим, что уравнение совместности (24) сохраняет свой вид и для плоской
деформации. Для общего случая объемных сил из уравнений (21) и (18) получаем условие совместности в следующей форме:
Уравнения равновесия (18) или (19) вместе с граничными условиями (20) и уравнением совместности (в одной из приведенных выше форм) дают нам систему уравнений, которая обычно достаточна для полного определения распределения напряжений в двумерной задаче. Частные случаи, в которых понадобятся некоторые дополнительные соображения, будут рассмотрены позже (см. стр. 146). Интересно отметить, что в случае постоянных объемных сил уравнения, определяющие распределение напряжений, не содержат упругих констант материала. Следовательно, распределение напряжений в этом случае будет одним и тем же для всех изотропных материалов, если эти уравнения достаточны для полного определения напряжений. Данное заключение обладает практической важностью: позднее мы увидим, что для прозрачных материалов, таких, как стекло или целлулоид, можно определять напряжения оптическим методом, используя поляризованный свет (стр. 162). Из вышеприведенных соображений ясно, что экспериментальные результаты, полученные для какого-либо прозрачного материала, в большинстве случаев можно непосредственно применять и к любым другим материалам, например к стали.
Следует также отметить, что в случае постоянных объемных сил уравнение совместности (24) справедливо как для плоского напряженного состояния, так и для плоской деформации. Следовательно, в обоих случаях распределение напряжений будет одним и тем же, если формы границ и приложенные к ним внешние усилия совпадают.
