§ 105. Эллиптическое поперечное сечение
Пусть граница поперечного сечения (рис. 153) задается уравнением
Тогда уравнение (150) и граничное условие (152) удовлетворяются, если принять функцию напряжений в форме
где 
— постоянная. Подставляя (б) в уравнение (150), находим
Отсюда
Величина постоянной 
теперь определяется из условия (153). Подставляя в (153) выражение 
определяемое по формуле
(в), найдем
Поскольку
то из формулы (г) получаем
откуда
Тогда, согласно формуле (в),
Рис. 153
Подставляя это выражение в соотношения (149), полу чаш для компонент напряжений выражения
Отношение этих компонент напряжений пропорционально отко шению 
, следовательно, является постоянным вдоль любого радиуса, такого, как 
(рис. 153). Это означает, что результирующее касательное напряжение совпадает с направлением касательной к границе в точке А. Вдоль вертикальной оси ОВ компонента напряжения 
равна нулю, а результирующее напряжение равно 
Вдоль горизонтальной оси 
результирующее касательное напряжение равно 
Очевидно, максимальное напряжение действует на границе, и можно легко показать, что это максимальное напряжение возникает по концам малой оси эллипса. Подставляя 
в первое из уравнений (154), находим, что абсолютное значение этого максимума есть
При 
эта формула совпадает с хорошо известной формулой для кругового поперечного сечения.
Подставляя выражение (д) в соотношение (151), находим выражение для угла закручивания
Множитель, на который мы делим крутящий момент, чтобы получить закручивание на единицу длины, называется крутильной
жесткостью. Обозначим эту величину через С; тогда из (156) для эллиптического поперечного сечения
где
— соответственно площадь и центральный полярный момент инерции сечения.
Имея компоненты напряжений (154), мы мбжем легко получить перемещения. Компоненты 
определяются формулами (а) из § 104. Перемещение 
находится из соотношений (г) и (б) из § 104. Подставляя в эти соотношения значения компонент напряжений (154) и угла закручивания (156) и интегрируя их, находим
Рис. 154.
Это показывает, что для искаженного поперечного сечения горизонтали являются гиперболами, имеющими в качестве асимптот главные оси эллипса (рис. 154).
