Глава 10. КРУЧЕНИЕ

§ 104. Кручение прямолинейных стержней

Как было показано (§ 101), точное решение задач о кручении круглых валов получается, если предположить, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и в процессе кручения поворачиваются без искажения. Эта теория, развитая Кулоном, была применена позднее Навье к стержням некругового поперечного сечения. Сделав вышеупомянутое допущение, Навье пришел к ошибочному заключению, что при заданном крутящем моменте угол закручивания стержня обратно пропорционален полярному моменту инерции поперечного сечения и что максимальное касательное напряжение действует в точках, наиболее удаленных от центра тяжести сечения. Легко видеть, что вышеприведенные допущения находятся в прямом противоречии с граничными условиями. Взяв для примера стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 149), получим, согласно гипотезе Навье, что в любой точке А на границе касательное напряжение должно действовать в направлении, перпендикулярном радиусу ОА. Разлагая это напряжение на две составляющие , можно видеть, что необходимо добавочное касательное напряжение, равное по величине и действующее на элемент боковой поверхности стержня в точке А (см. стр. 25), что находится в противоречии с предположением об отсутствии на боковой поверхности внешних усилий, если кручение вызывается лишь моментами, приложенными к концам стержня. Простой эксперимент со стержнем прямоугольного сечения, представленный на рис. 150, показывает, что поперечные сечения стержня

Рис. 149.

при кручении не остаются плоскими и что искажения прямоугольного элемента на поверхности стержня наиболее велики посередине граней, т. е. в точках, ближайших к оси стержня.

Корректное решение задачи о кручении стержней силами, приложенными по его концам, дал Сен-Венан.

Сен-Венан использовал так называемый полуобратный метод. Вначале им были сделаны определенные допущения относительно деформаций скручиваемого стержня; затем было показано, что при этих допущениях можно удовлетворить уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124).

Рис. 150.

Рис. 151.

Тогда из условия единственности решения задач теории упругости (§ 96) следует, что сделанные вначале допущения являются корректными и что полученное решение представляет собой точное решение задачи о кручении, если моменты по концам приложены с помощью касательных напряжений, распределенных в томности так, как это требуется решением.

Рассмотрим однородный стержень произвольного поперечного сечения, скручиваемый моментами, приложенными по его концам (рис. 151). Руководствуясь решением для круглого вала (стр. 292), Сен-Венан предположил, что деформация скручиваемого стержня состоит из двух частей: 1) поворотов поперечных сечений стержня, которые будут такими же, как и для круглого вала» и 2) депланации поперечных сечений, которая для всех поперечных сечений одинакова. Взяв начало координат в концевом поперечном сечении (рис. 151), находим, что перемещения, отвечающие повороту поперечных сечений, будут

где угол закручивания поперечного сечения на расстоянии от начала координат.

Депланация поперечных сечений определяется функцией по формуле

При сделанных предположениях (а) и (б) относительно перемещений, мы можем вычислить из уравнений (2) компоненты деформации, которые в данном случае имеют вид

Соответствующие компоненты напряжений, согласно уравнениям (3) и (6), равны

Можно видеть, что при допущениях (а) и (б) относительно деформаций не возникают нормальные напряжения, действующие между продольными волокнами стержня или в направлении самих волокон. Не возникают и искажения плоскостей поперечных сечений, поскольку обращаются в нуль. В каждой точке мы имеем чистый сдвиг, определяемый компонентами . Функция определяющая депланацию поперечного сечения, должна быть выбрана таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (123). Подставляя выражения (г) в эти уравнения и пренебрегая массовыми силами, находим, что функция должна удовлетворять уравнению

Рассмотрим теперь граничные условия (124). Для боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних сил и имеет нормали, перпендикулярные к оси z, имеем Первые два из уравнений (124) удовлетворяются

тождественно, а третье дает

Это означает, что результирующее касательное напряжение на границе направлено вдоль касательной к границе (рис. 152). Ранее было показано (см. стр. 299), что этому условию можно удовлетворить, если боковая поверхность стержня свободна от внешней нагрузки.

Рис. 152.

Рассматривая бесконечно малый элемент на границе и предполагая, что увеличивается в направлении от с к а, имеем

и уравнение (д) принимает вид

Таким образом, любая задача о кручении сводится к задаче отыскания функции удовлетворяющей уравнению (147) и граничным условиям (148).

Другая процедура, которая обладает тем преимуществом, что приводит к более простым граничным условиям, состоит в следующем. Ввиду обращения в нуль величин (уравнения (г) уравнения равновесия (123) приводятся к виду

Первые два из этих уравнений уже удовлетворены, так как определяемые уравнениями (г), не зависят от Третье уравнение означает, что мы можем выразить в виде

где — функция х и у, называемая функцией напряжений. Из уравнений (149) и (г) имеем

Исключая путем дифференцирования первого уравнения по у, второго — по х, и вычитания второго уравнения из первого, находим, что функция напряжений должна удовлетворять

дифференциальному уравнению

где

С помощью уравнения (149), граничное условие (д) принимает вид

Это показывает, что функция напряжений должна быть постоянной вдоль границы поперечного сечения. В случае односвязных сечений, например для сплошных стержней, эту константу можно выбирать произвольно, и в последующем мы будем принимать ее равной нулю. Таким образом, определение распределения напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня состоит в отыскании функции которая удовлетворяет уравнению (150) и равна нулю на границе. Позже мы покажем приложение этой общей теории к случаям поперечных сечений различной формы.

Рассмотрим теперь условия по концам скручиваемого стержня. Нормали к концевым поперечным сечениям параллельны оси . Следовательно, условия (124) принимают вид

где знак должен приниматься для того конца стержня, для которого внешняя нормаль совпадает с положительным направлением оси это, например, имеет место для нижнего конца стержня, изображенного на рис. 151. Мы видим, что на концах касательные усилия распределяются таким же образом, как и касательные напряжения по поперечным сечениям стержня. Легко доказать, что эти усилия приводятся к крутящему моменту. Подставляя в уравнения (ж) равенства (149) и замечая, что функция на границе равна нулю, находим

Таким образом, результирующая усилий, распределенных по концам стержня, равна нулю и эти силы сводятся к моменту, величина которого равна

Интегрируя это выражение по частям и учитывая, что на границе получаем

Каждый из интегралов в правой части уравнения (и) дает половину этого крутящего момента.

Мы видим, что, принимая перемещения в форме (а) и (б) и определяя компоненты напряжений из соотношений (149), (150) и (152), мы получаем распределение напряжений, которое удовлетворяет уравнениям равновесия (123), оставляет боковую поверхность стержня свободной от внешней нагрузки и дает на концах стержня крутящие моменты, определяемые выражением (153). Условия совместности (126) при этом рассматривать не нужно. Напряжения были определены, исходя из перемещений (а) и (б). Вопрос совместности сводится к доказательству существования единственной функции перемещений которое обеспечивается уравнением (150), получающимся в результате исключения из (е). Таким образом, все уравнения теоремы упругости удовлетворяются и полученное решение представляет собой точное решение задачи о кручении.

Уже отмечалось, что это решение требует, чтобы силы по концам стержня распределялись некоторым определенным образом. Однако практическое приложение такого решения не ограничивается этими случаями. Из принципа Сен-Венана следует, что на достаточном расстоянии от концов длинного скручиваемого стержня напряжения зависят только от величины крутящего момента и практически не зависят от способа, по которому усилия распределяются по концевым сечениям.