§ 110. Дополнительные результаты

Как показано в предыдущем параграфе, использование бесконечных рядов дает возможность решать задачи кручения и для некоторых других форм поперечных сечений.

В случае сектора круга (рис. 164) границы задаются уравнениями . Примем функцию напряжений в виде

Функция должна удовлетворять уравнению Лапласа (см. § 106). Взяв решение этого уравнения в форме ряда

приходим к функции напряжений

Это выражение равно нулю на границах

Рис. 164.

Чтобы сделать его равным нулю и вдоль круговой границы, мы должны положить

откуда обычным путем тюлучаем

Следовательно, функдия напряжений имеет вид

Подставляя ее в формулу (153), находим где — коэффициент, зависящий от угла а сектора. Некоторые значения к, вычисленные Сен-Венаном, приведены в табл. 7.

Максимальные касательные напряжения вдоль радиальных и круговой границ даются формулами Несколько значений и приведены в таблице.

Решение для криволинейного четырехугольника, ограниченного двумя концентрическими круговыми дугами и двумя радиусами, может быть получено таким же образом. В случае равнобедренного прямоугольного треугольника

ТАБЛИЦА 7. (см. скан)

угол закручивания определяется уравнением

где а — длина равных сторон треугольника. Максимальное касательное напряжение действует посередине гипотенузы и определяется формулой

Путем введения криволинейных координат было рассмотрено несколько других типов поперечных сечений. Используя эллиптические координаты (см. стр. 197) и сопряженные функции определяемые уравнением

приходим к поперечным сечениям, ограниченным конфокальными эллипсами и гиперболами. Используя уравнение

получаем поперечные сечения, ограниченные ортогональными параболами.

Были получены решения и для многмх других сечений, сплошных и полых, включая многоугольники, углы, кардиоиды, лемнискаты и окружности с одним или несколькими эксцентрическими отверстиями. Если сечение может быть конформно отображено на единичный круг, то решение можно записать в виде комплексного интеграла.