§ 138. Сила, приложенная на границе полубесконечного тела

Представим себе, что плоскость является границей полубесконечного тела и что сила Р, действующая на этой плоскости, направлена вдоль оси (рис. 207). В § 135 было показано, что распределение напряжений, определяемое формулами (204), (205), может быть вызвано в полубесконечном теле

сосредоточенной силой, приложенной в начале координат, и касательными усилиями, действующими на граничной плоскости которые определяются формулой

Рис. 207.

Чтобы снять эти усилия и прийти к решению задачи, показанной на рис. 207, воспользуемся распределением напряжений, отвечающим центру сжатия (см. стр. 396).

В полярных координатах это распределение напряжений имеет вид

где А — постоянная. В цилиндрических координатах (рис. 207) имеем следующие выражения для компонент напряжения:

Теперь допустим, что центры сжатия равномерно распределены вдоль оси от до Тогда в силу принципа суперпозиции компоненты напряжения, вызванного в бесконечном теле, определяется из формул (209) с некоторой новой постоянной

Для плоскости находим, что нормальное напряжение равно нулю, а касательное напряжение определяется формулой

Теперь видно, что, комбинируя решения (204) и (210), мы можем с помощью соответствующего выбора постоянных А и В получить такое распределение напряжений, что плоскость будет свободна от напряжений, а в начале координат будет действовать сосредоточенная сила Р. Из (а) и (б) видим, что касательное напряжение на граничной плоскости будет снято, если положить

откуда

Подставляя это значение в выражения (210) и складывая напряжения (204) и (210), находим

Это распределение напряжений удовлетворяет граничным условиям, так как при Остается определить постоянную В таким образом, чтобы усилия, распределенные по полусферической поверхности с центром в начале координат были статически эквивалентны силе Р, действующей вдоль оси Если рассмотреть равновесие элемента, показанного на рис. 203, то компонента усилий, действующих на полусферу в направлении оси окажется равной

Для определения В получаем уравнение

из которого

Наконец, подставляя значение этой постоянной в (в), получаем следующие выражения для компонент напряжений, вызванных нормальной силой Р, действующей на плоской границе полубесконечного тела

Это решение является трехмерным аналогом решения для полубесконечной пластинки (см. § 36).

Если взять элементарную площадку перпендикулярную оси (рис. 207), то отношение нормальной и касательной компонент напряжения на этой площадке, согласно равенствам (211), будет равно

Следовательно, направление результирующего напряжения проходит через начало координат О. Величина этого напряжения определяется формулой

Таким образом, это напряжение пропорционально квадрату расстояния от точки приложения силы Р. Представим себе сферическую поверхность диаметра касающуюся плоскости в начале координат О. Для каждой точки этой поверхности

Подставляя это значение в формулу (212), приходим к выводу, что для точек рассматриваемой сферы результирующее напряжение в горизонтальных плоскостях постоянно и равно

Рассмотрим теперь перемещения, вызываемые в полубесконечном теле силой Р. Из формул (187) для компонент деформации имеем

Подставляя сюда значения для компонент напряжений (211),

имеем

Для определения вертикального перемещения согласно (187), получаем

Подставляя значения компонент напряжений и перемещений и, полученные выше, находим

откуда после интегрирования находим

(произвольная постоянная принята равной нулю). Для граничной плоскости перемещения равны

Это показывает, что произведение на границе постоянна. Следовательно, радиусы, проведенные на границе из начала координат, после деформации становятся гиперболами с асимптотами . В начале координат напряжения и перемещения становятся бесконечными. В силу этого мы должны вообразить, что материал вокруг начала координат вырезан полусферической поверхностью малого радиуса и сосредоточенная сила Р заменяется статически эквивалентными силами, распределенными по этой поверхности так, как того требует решение.