§ 4. Треугольные и шестиугольные сетки

В предыдущих рассуждениях использовалась квадратная сетка, однако иногда предпочтительнее использование треугольной или шестиугольной сетки (рис. 8, а и б). Рассматривая треугольную сетку (рис. 8, а), мы видим, что в пределах шестиугольника, показанного пунктиром, распределенная нагрузка будет передаваться на узловую точку О. Если обозначить через размер стороны ячейки, то сторона вышеупомянутого шестиугольника будет равна а его площадь в силу чего нагрузка, передаваемая на каждый узел, будет равна Эта нагрузка должна уравновешиваться усилиями в нитях

Чтобы сетка нитей соответствовала равномерно растянутой мембране, растягивающие усилия в каждой нити должны быть равны растягивающим усилиям в мембране, передаваемым через одну сторону шестиугольника, т. е. должны быть равны

Рис. 8.

Действуя дальше таким же путем, как и в предыдущем параграфе, получаем для узла О следующее уравнение равновесия:

или

Введем безразмерную функцию определяемую формулой

После этого конечно-разностное уравнение примет вид

Такое же уравнение можно записать для каждого внутреннего узла, и для решения этих уравнений можно использовать методы итерации или релаксации.

В случае шестиугольной сетки (рис. 8, б) на узел О будет передаваться нагрузка, распределенная по площади равностороннего треугольника, показанного на рисунке пунктиром. Обозначив через длину стороны ячейки, видим, что длина стороны треугольника будет равна а его площадь . Соответствующая нагрузка равна Эта нагрузка должна уравновешиваться растягивающими усилиями в трех нитях

Чтобы сетка таких нитей соответствовала равномерно растянутой мембране, растягивающие усилия в нитях следует принять равными Уравнение равновесия тогда будет иметь вид

или

Чтобы получить конечно-разностные уравнения для задач о кручении, мы должны подставить в уравнения (19) и вместо

В качестве примера рассмотрим кручение стержня, поперечное сечение которого представляет собой равносторонний треугольник (рис. 9). Точное решение для этого случая дано на стр. 307.

Рис. 9.

При использовании метода релаксации естественно выбрать для этого случая треугольную сетку. Начав с грубой сетки, примем размер ячейки равным одной трети длины а стороны треугольника. Тогда в сетке будет лишь одна внутренняя точка 0, а во всех соседних точках 1, 2, 3, 6 искомые значения функции напряжений должны равняться нулю, поскольку эти точки лежат на границе. Конечно-разностное уравнение для точки О получается тогда из уравнения (19) путем подстановки вместо вместо что в результате дает

и

Перейдем теперь к более густой сетке. Чтобы получить для такой сетки какие-то начальные значения, рассмотрим точку а, центр тяжести треугольника 120. Допустим, что эта точка соединена с узлами тремя нитями длиной Рассматривая точку а как узел шестиугольной сетки (рис. 8, б), подставляя в уравнение вместо вместо и полагая получаем

Те же значения для функции напряжений можно принять также для точек на рис. 9. Чтобы получить значения функции напряжений в точках снова воспользуемся уравнением (22). Учитывая, что в этом случае

находим

Рис. 10.

Таким путем определяются значения во всех узловых точках, отмеченных на рис. 10 черными кружками. Мы видим, что в каждой из узловых точек а, с не имеется шесть нитей, как и требуется при треугольной сетке (рис. 8, а). Однако в остальных точках число нитей меньше шести. Чтобы удовлетворить условиям, которые накладывает треугольная сетка на все внутренние точки, продолжим наши действия так, как показано пунктирными линиями на верхней части рис. 10. Тогда поперечное сечение будет разделено на равносторонние треугольники со сторонами

Рис. 11.

Из условия симметрии заключаем, что достаточно рассмотреть только одну шестую поперечного сечения, которая показана на рис. 11, а. Значения в узловых точках уже определены. Значения в узлах следует теперь определить, как и раньше, с помощью уравнения (22) и значения в трех соседних точках. Для точки например, получаем

Подставляя вместо ранее вычисленные значения, находим

Подобным образом определяются значения Все эти значения, выписаны слева от соответствующих узлов на рис. 11, а. Их следует принять в качестве исходных в процессе релаксации.

Для случая кручения уравнение (19) заменится уравнением

Чтобы привести его к безразмерной форме, введем обозначения

Тогда получим

Начальные значения вычисленные из формулы (27), записаны слева от узловых точек на рис. 11, б. Подставляя эти значения в правую часть уравнения (28), находим соответствующие невязки:

Невязки, вычисленные таким путем, записаны справа от каждой узловой точки на рис. 11, б. Устранение этих невязок начинается с точки а. Придавая этой точке перемещение прибавим (см. уравнение к этой невязке в точке а и к невязкам в соседних точках. Таким образом, невязка в узле а будет устранена и в узле появится невязка —2. Невязок на границе мы не касаемся, поскольку там установлены неподвижные опоры. Рассматривая теперь точку с и вводя в ней перемещение приводим к нулю невязку в этой точке и прибавляем к невязкам в точках не. Все остальные невязки можно теперь привести к нулю, накладывая в точке перемещение Прибавляя все выписанные поправки к начальным значениям функции получаем искомые значения а из формулы (27) находим значения Эти значения, поделенные на , представлены на рис. И, в. Они совпадают со значениями, которые могут быть найдены из точного решения (ж) на стр. 307,