§ 37. Произвольная вертикальная нагрузка на прямолинейной границе

Кривые для напряжений построенные в предыдущем параграфе (рис. 54), можно использовать как линии влияния. Допустим, что эти кривые определяют напряжения для единичной силы Р, равной, например, одному килограмму. Тогда для

любого другого значения силы Р напряжение в любой точке Н плоскости можно получить путем умножения ординаты на значение Р.

Если на прямолинейную горизонтальную границу полубесконечной пластинки действуют несколько сосредоточенных сил то напряжения на горизонтальной плоскости можно получить с помощью суперпозиции напряжений, вызываемых каждой из этих сил. Для каждой из них кривые напряжений можно получить, сдвигая кривые, построенные для силы Р, к новым началам координат . Отсюда следует, что напряжение вызываемое, например, силой на плоскости в точке получается путем умножения ординаты на . Таким же образом напряжение в точке вызываемое силой получается равным и так далее. Общее нормальное напряжение в точке D на плоскости вызываемое силами

Следовательно, кривая , показанная на рис. 54, представляет собой линию влияния для нормального напряжения в точке Таким же путем мы заключаем, что кривая зависимости является линией влияния касательного напряжения на плоскости в точке

Имея эти кривые, легко получить компоненты напряжения в точке D для любого вида вертикального нагружения границы пластинки.

Если вместо сосредоточенных сил на пластинку действует равномерная нагрузка интенсивности распределенная на части 55 прямолинейной границы (рис. 54), то нормальное напряжение, вызываемое этой нагрузкой в точке можно получить путем умножения интенсивности на соответствующую площадь влияния, которая на рисунке заштрихована.

Задачу о действии равномерно распределенной нагрузки можно решить и другим способом с помощью функции напряжений вида

где А — постоянная. Соответствующие компоненты напряжений представляются в форме

Применяя эти зависимости к полубесконечной пластинке, приходим к распределению нагрузки, показанному на рис. 58, а. На правом краю пластинки действует равномерно распределенная

касательная нагрузка интенсивности — А и равномерно распределенная нормальная нагрузка интенсивности скачком меняющая знак в начале координат О. Направления сил следуют из определений положительных направлений компонент напряжений, действующих на элемент С.

Рис. 58.

Рис. 59.

Сдвигая начало координат в точку и меняя знак функции напряжений приходим к распределению нагрузок, показанному на рис. 58, б. Налагая оба случая распределения нагрузки, показанные на рис. 58, а и б, получаем случай действия равномерной нагрузки на части прямолинейной границы полубесконечной пластинки, показанной на рас. 58, б. Чтобы получить заданную интенсивность нагрузки, положим

Напряжения в любой точке пластинки даются функцией напряжений

Из уравнений (б) мы видим, что в любой точке М пластинки (рис. 59, а)

первый член функции напряжений (в) дает равномерное растяжение во всех направлениях в плоскости пластинки, равное и чистый сдвиг интенсивностью А. Точно так же второй член функции напряжений дает равномерное сжатие и чистый сдвиг интенсивностью А. Равномерное растяжение и сжатие можно просто сложить друг с другом, тем самым получить выражение для равномерного напряжения сжатия

где а — угол между радиусами

Для наложения двух состояний чистого сдвига (одного, отвечающего направлению и другого — отвечающего направлению мы можем воспользоваться кругом Мора (рис. 59, б), который в этом случае имеет радиус, равный численному значению интенсивности сдвига Л. Выбирая в качестве осей и а два диаметра, один из которого параллелен и другой перпендикулярен получаем графическое представление чистого сдвига, отвечающего направлению Радиусы и представляют главные напряжения А и — А, составляющие угол с радиусом в точке соответственно с этим состоянием чистого сдвига. Радиус представляет касательное напряжение —А на плоскости перпендикулярной к Для любой плоскости наклоненной под углом (рис. 58, а), компоненты напряжения определятся координатами а и точки окружности с углом равным .

Ту же окружность можно использовать также для получения компонент напряжений, вызванных чистым сдвигом в направлении (см. стр. 39). Рассматривая вновь плоскость тхпх и замечая, что нормаль к этой плоскости составляет угол с направлением (рис. 59, а), получаем, что компоненты напряжений даются координатами точки Н окружности. Чтобы обеспечить нужный знак чистого сдвига, отвечающего направлению мы должны изменить знаки компонент напряжения и получаем таким путем точку на окружности. Полное напряжение, действующее на плоскости тупх, определяется вектором компоненты которого дают нормальное напряжение — и касательное напряжение . Вектор имеет одну и ту же величину для всех значений поскольку и длины его компонент и угол между ними не зависят от Следовательно, комбинируя два состояния чистого сдвига, мы снова приходим к чистому сдвигу (см. стр. 40).

Если то угол Р определяет направление одного из главных напряжений в точке М. Из рисунка мы видим, что компоненты численно равны друг другу, если

откуда Следовательно, направление главного напряжения делит пополам угол между радиусами Величины главных напряжений при этом будут

Комбинируя это напряженное состояние с однородным сжатием (г), находим, что полные значения главных напряжений в любой точке М равны

Вдоль дуги любой окружности, проходящей через точки угол остается постоянным, следовательно, постоянны и главные напряжения, определяемые выражениями (е). На границе между точками (рис. 59, а) угол а равен , и мы получаем, согласно (е), что главные напряжения равны Для остальных частей границы и оба главных напряжения равны нулю.

Таким образой, если рассматривать произвольное распределение нагрузки (рис. 60) как составленное из большого числа нагрузок переменной интенсивности, действующих на малые элементы границы, то горизонтальные

напряжения под любым из таких элементов (как показано на рис. 60) полностью связаны только с этим элементом и

вдоль всей прямолинейной границы.

Несколько других случаев действия распределенной нагрузки на прямолинейной границе полубесконечной пластинки исследовал Каротерс. Иной способ решения этой задачи будет рассмотрен позже (стр. 153).

Перемещения, соответствующие компонентам напряжений, определяемым уравнениями (б), легко найти с помощью прямого интегрирования уравнений для и и таким же путем, как это было сделано в § 31. Опуская члены, связанные с перемещением тела как твердого, получаем

Используя эти формулы в суперпозиции, представленной равенством (в), можно найти выражения для направленного вниз вертикального перемещения каждой точки первоначально прямолинейной горизонтальной границы пластинки. По определению, в своей собственной системе координат представляет собой перемещение в направлении возрастания . Чтобы найти направленное вниз перемещение (рис. 58, в), будем считать, что оно равно для любой точки справа от для любой точки слева от . Это связано с тем, что вклад от системы, привязанной к точке и соответствующей члену — в уравнении (в), в точке меняет знак на обратный. Направленные вниз перемещения поверхности при плоском напряженном состоянии для задачи, изображенной на рис. 58, в, показаны на рис. 61. Разумеется, к ним можно добавить перемещение тела как твердого.

Рис. 60.

Рис. 61.

Выражения на рис. 61 по своему смыслу дают нулевой наклон поверхности в середине и на бесконечности. В точках наклоны не ограничены, и в этом смысле указанные точки являются сингулярными (ср. задачу 18, стр. 159).

Перемещение в срединной точке С верхнего края при имеет значение

Если теперь рассматривать нагрузку как элемент нагрузки с неоднородным распределением (рис. 60), расстояние станет бесконечно малым. Поскольку предел а а при равен нулю, мы приходим к выводу, что при определении перемещения под каждым элементом нагрузки таким методом самим вкладом этого элемента можно пренебречь. Перемещение, вызванное другими элементами нагрузки (см. рис. 60) для любой точки х на крае получается в виде

где символ обозначает (положительное) расстояние между элементом нагрузки в точке и рассматриваемой точкой х. Сюда также можно было бы добавить члены, связанные с перемещением абсолютно твердого тела.

Подынтегральное выражение обладает особенностью при то есть для элемента нагрузки, расположенного над рассматриваемой точкой. Мы видели, однако, что этот элемент не вносит вклада. Следовательно интеграл здесь нужно понимать в смысле главного значения по Коши.

Рис. 62.

Уравнение можно использовать для отыскания интенсивности нагрузки которая вызывает заданные перемещения прямолинейной границы. Предполагая, например, что перемещения вдоль нагруженной части прямолинейной границы постоянны (рис. 62), можно показать, что распределение нагрузки по этой части границы определяется уравнением