§ 76. Эллипсоид напряжений и направляющая поверхность напряжений

Если совместить координатные оси с направлениями главных осей, то определение напряжений на любой наклонной площадке становится очень простым. Касательные напряжения туг, в этом случае равны нулю, и уравнения (108) принимают вид

Подставляя значения из этих уравнений в хорошо известное соотношение находим

Эта зависимость означает, что если для каждой наклонной площадки, проходящей через точку О, напряжение представляется вектором, исходящим из точки О, с компонентами X, Y, Z, то концы этих векторов лежат на поверхности эллипсоида, определяемого уравнением (112). Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений. Его полуоси представляют главные напряжения в данной точке. Отсюда можно сделать вывод, что максимальное напряжение в любой точке представляет собой наибольшее из трех главных напряжений в этой точке.

Если два из трех главных напряжений численно равны, эллипсоид напряжений становится эллипсоидом вращения. Если эти численно равные напряжения имеют один и тот же знак, результирующие напряжения на всех площадках, проходящих через ось вращения эллипсоида, будут равны и перпендикулярны к площадкам, на которых они действуют. В этом случае напряжения на любых двух перпендикулярных площадках, проходящих через эту ось, можно рассматривать как главные. Если все три главных напряжения равны и имеют один и тот же знак, эллипсоид напряжений становится сферой и любые три перпендикулярных направления могут рассматриваться как главные оси. Когда одно из главных напряжений равно нулю, эллипсоид напряжений сводится к эллипсу на плоскости, и векторы, представляющие напряжения на всех площадках, проходящих через данную точку, лежат в той же плоскости. Такое напряженное

состояние называется плоским и уже обсуждалось в предыдущих главах. Если два главных напряжения равны нулю, получаем случай простого растяжения, или сжатия.

Каждый радиус-вектор эллипсоида напряжений представляет в некотором масштабе напряжение по одной из площадок, проходящих через центр эллипсоида. Чтобы найти эту площадку, воспользуемся, наряду с эллипсоидом напряжений (112), направляющей поверхностью напряжений, определяемой уравнением

Напряжения, представленные радиусом-вектором эллипсоида напряжений, действуют на площадке, параллельной касательной плоскости к направляющей поверхности напряжений в точке ее пересечения с названным радиусом-вектором. Это можно показать следующим образом. Уравнение касательной плоскости к направляющей поверхности напряжений (113) в некоторой точке с координатами представляется в виде

Обозначая через длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на вышеупомянутую касательную плоскость, а через — направляющие косинусы этого перпендикуляра, можно записать уравнение этой касательной плоскости в форме

Сравнивая выражения (а) и (б), находим

одставляя эти значения в уравнения (111), получаем

компоненты напряжения на площадке с направляющими косинусами , пропорциональные координатам Следовательно, вектор, представляющий напряжение, как отмечалось выше, проходит через точку с координатами