§ 146. Растяжение винтовой пружины (винтовые дислокации в кольце)

Для некоторых важных задач, имеющих практический интерес, напряжения осесимметричны, тогда как поле перемещений не обладает этим свойством.

При этом, если недеформированная граница является поверхностью вращения, то деформированная ею не будет.

Рис. 220.

В качестве примера рассмотрим винтовую пружину, растягиваемую силами Р. Любой отрезок пружины находится в равновесии под действием двух равных по величине и противоположных по знаку сил Р, как показано на рис. 220. Касательные напряжения в любом сечении дают осевую результирующую силу Р и могут быть для всех сечений одинаковыми. Если радиус сечения не мал по сравнению с радиусом витка элементарная теория, хорошо известная в сопротивлении материалов, становится неверной. В ней каждый малый участок, расположенный между двумя сечениями, рассматривается как прямой цилиндр, скручиваемый парой Соответствующее касательное напряжение имеет в цилиндрических координатах не равные нулю компоненты и которые не зависят от . Наличие шага осевой линии спирали не учитывается.

Чтобы найти решение общих уравнений, учитывающее кривизну витков упростим сначала задачу с помощью полуобратного метода Сен-Венана. Рассмотрим перемещение в форме

где с — постоянная, которую мы позже свяжем с Р. Определяя компоненты деформации из формул (179), находим, что равны нулю и что

Таким образом, не равными нулю являются лишь компоненты напряжений Будучи независимыми от , они для всех сечений одинаковы. Три уравнения равновесия (180) приводятся к уравнению (в) § 119 и мы снова получаем функцию напряжений , входящую в формулы (г) § 119, которые имеют вид

Из условий (б) и (в) легко получить, что эти дифференциальные уравнения удовлетворяются, если и удовлетворяют в отдельности уравнениям

и

С помощью оператора Лапласа

уравнения (г) и (д) можно переписать в виде

Перемещения (а) отличаются от тех, которые рассматривались в § 119, лишь введением компоненты Соответственно уравнения (б), (в), (г) и (д) сводятся к форме, приведенной в § 119, если принять

Поскольку уравнения (в) совпадают с уравнениями (г) § 119, условие на свободной граничной поверхности вращения совпадет с равенством (и) § 119, т. е. будет иметь вид

Если не учитывать наличия шага, один виток недеформированной винтовой пружины из круглой проволоки можно считать тором, порождаемым вращением относительно оси z круга, как показано на рис. 221. Два конца витка не соединены. На них действуют одинаковые по величине, но противоположные по знаку распределения касательного напряжения с результирующими Р, направленными вдоль оси Если приложить эти силы, то между двумя концевыми сечениями возникнет разрыв в осевом перемещении, который в соответствии с (а) составляет

Для решения задачи требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (г) внутри окружности, изображенной на рис. 221, и постоянна на ней. Это решение в форме ряда в тороидальных координатах получил Фрейбергер. Координатные поверхности этой системы порождаются вращением плоской биполярной системы, изображенной на рис. 120, относительно оси х, которую нужно считать вертикальной и соответствующей оси на рис. 221 (третье семейство координатных поверхностей состоит из плоскостей Выкладки, по необходимости довольно сложные, здесь не приводятся. Основные результаты представлены в табл. 13 и на рис. 222.

Рис. 221.

Рис. 222.

ТАБЛИЦА 13 (см. скан)

Таблица дает зависимость между относительным осевым перемещением (получаемым по формуле (к)), соответствующим «растяжению» одного витка, и вызывающим его силой Р. Сила Р является осевой растягивающей силой в одно- или многовитковой «винтовой пружине с пренебрежимо малым шагом». Мы можем записать

Это соотношение представляет собой безразмерную зависимость, содержащую величины Р и Значения 6 для нескольких значений приводятся в таблице. В каждом данном случае, зная и находим из значение отношения

После этого при заданных будем иметь отношение. т. е. жесткость одного витка пружины. Элементарная теория соответствует значению Значение, даваемое таблицей при очень близко к 1. Даже при (толстая проволока) отклонение от 1 составляет лишь 0,025.

Касательное напряжение в круговом сечении на круговой границе будет обязательно направлено по дуге окружности. Оно достигает наибольшего значения в точке А, рис. 221. Наименьшее значение на круговой границе достигается в точке В. Эти значения можно получить с помощью безразмерного коэффициента К, входящего в формулу

Зависимости К от для точки А (верхняя кривая) и для точки В (нижняя кривая) показаны на рис. 222. Элементарная теория дает значение для тонкой проволоки (т. е. когда отношение велико). Как показывает рис. 222, отклонения от элементарного решения значительны, особенно для малых значений (т. е. для толстой проволоки).

Кривая, помеченная на рис. 222 символом получена из элементарной теории путем внесения поправок для кривизны и сдвигающего усилия Р (по элементарной теории напряжение определяется только «крутящим» моментом При расчете винтовых пружин может оказаться значительной также поправка, учитывающая шаг пружины.