§ 151. Длинный круглый цилиндр

Температура в этой задаче считается распределенной симметрично относительно оси и не зависящей от осевой координаты Предположим сперва, что осевое перемещение всюду равно нулю, а затем модифицируем решение на случай свободных концов.

Плоская деформация. В этом случае мы имеем три компоненты напряжений все три деформации сдвига и касательные напряжения равны нулю в силу симметрии относительно оси и постоянства условий в осевом направлении. Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид

Так как имеем и третье из уравнений (247) дает

После подстановки этого значения в первые два уравнения (247) они принимают вид

Можно сразу же видеть, что эти уравнения получаются из соответствующих уравнений для плоского напряженного состояния, т. е. соотношений (б) и (в) § 150, если в последних Е заменить на на и а на

У равнения (а) и (е) из предыдущего параграфа здесь остаются справедливыми, и решение для получается тем же самым путем. В силу этого мы можем выписать результаты, произведя соответствующие подстановки в соотношениях (и), (к)

и (л). Таким образом, для рассматриваемой задачи имеем

далее из уравнения (а) находим

Чтобы всюду выполнялось условие к концам цилиндра нужно приложить нормальные усилия, распределенные в соответствии с формулой (е). Но теперь следует наложить постоянное осевое напряжение выбрав таким образом, чтобы результирующее усилие по торцам цилиндра равнялось нулю. Согласно принципу Сен-Венана (стр. 57) самоуравновешенные распределения усилий, остающиеся при этом на обоих торцах, будут вызывать вблизи них только местные эффекты.

Напряжения будут по-прежнему определяться уравнениями (г) и (д). На перемещение и влияет, однако, осевое напряжение . К правой части уравнения (в) должен быть добавлен член Такое осевое перемещение будет соответствовать однородному распределению напряжения

Сплошкой цилиндр. В этом случае мы можем принять равным нулю нижний предел а в интегралах, входящих в уравнения (в), (г) и (д). Перемещение и должно обращаться в нуль, когда Поэтому мы должны отбросить член, содержащий

Постоянная находится из условия, что криволинейная поверхность свободна от усилий, откуда Таким образом, из уравнения (г), полагая находим

Результирующая осевого напряжения (е) составляет

а результирующая постоянного осевого напряжения равна Значение которое обращает в нуль полную осевую

силу, определяется отсюда формулой

При равной нулю осевой деформации окончательные выражения для согласно уравнениям (в), (г), (д), (е), (ж) и (и) имеют вид

При равном нулю осевом усилии напряжения и определяются формулами (249) и (250): для и и имеем

Рассмотрим, например, длинный цилиндр при постоянной всюду начальной температуре Если, начиная с некоторого момента боковая поверхность цилиндра приобретает равную нулю температуру, то распределение температуры в любой момент времени выразится в виде ряда

где функция Бесселя нулевого порядка, а — корни уравнения Коэффициенты ряда (к) имеют вид

а постоянные определяются формулой

где — коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость материала и — плотность. Подставляя ряд (к) в уравнение (249) и учитывая, что

получаем

Таким же путем, подставляя ряд (к) в соотношение (250), находим

Подстановка ряда (к) в соотношение (253) дает

Формулы (м), (н) и (о) представляют полное решение задачи. Несколько численных примеров можно найти в статьях А. Н. Динника и Лиса.

На рис. 227 представлено распределение температуры в стальном цилиндре. Считается, что первоначально температура в цилиндре всюду равнялась нулю и что, начиная с момента температура поверхности цилиндра сохраняет значение Распределение температуры вдоль радиуса при различных значениях измеряется в секундах и в сантиметрах) представлено на рис. 227 кривыми. Из уравнений (к) и (л) можно видеть, что если время нагрева пропорционально квадрату

диаметра, то распределение температуры для цилиндров разных диаметров будет одинаковым. С помощью рисунка можно определить среднюю температуру всего цилиндра, а также температуру его внутренней части радиуса Зная их, по формулам (249), (250) и (253) находим температурные напряжения. Если принять для очень малое значение, то вышеупомянутые средние температуры будут близки к нулю и мы получим на поверхности

Рис. 227.

Последнее выражение представляет численно максимальное температурное напряжение, возникающее в цилиндре вследствие нагрева. Оно равно напряжению, необходимому для полного устранения теплового расширения у поверхности (но не по нормали к ней). При нагреве это напряжение будет сжимающим, при охлаждении — растягивающим. Чтобы уменьшить это максимальное напряжение, обычно начинают нагрев валов и роторов с температуры, несколько меньшей, чем конечная температура и увеличивают время нагрева пропорционально квадрату диаметра.

Цилиндр с концентрическим круглым отверстием. Пусть радиус отверстия равен а, а внешний радиус цилиндра тогда постоянные и в формулах (б), (г) и (д) следует определить таким образом, чтобы напряжение при этих двух значениях радиусов было равно нулю. Отсюда

Из этих соотношений следует

Подставляя эти значения в (г), (д) и (е) и добавляя к последнему выражению осевое напряжение требуемое для того, чтобы обратить в нуль результирующую осевую силу, получаем

формулы

В качестве примера рассмотрим стационарный тепловой поток. Если - температура на внутренней поверхности цилиндра, а температура на внешней поверхности равна нулю, то температура Т на любом расстоянии от центра представляется выражением

Подставляя это значение в формулы (254), (255) и (256), находим следующие выражения для температурных напряжений:

Если температура положительна, то радиальное напряжение во всех точках является сжимающим и обращается в нуль на внутренней и внешней поверхностях цилиндра. Компоненты напряжения достигают максимального и минимального абсолютных значений на внутренней и внешней поверхностях цилиндра. Полагая находим, что

При получаем

Распределение температурных напряжений по толщине стенки для частного случая показано на рис. 228. Если температура Т положительна, то напряжения являются сжимающими на внутренней поверхности и растягивающими на внешней. В таких материалах, как камень, кирпич или бетон, которые плохо сопротивляются растяжению, при вышеописанных условиях трещины обычно появляются на внешней поверхности.

Если толщина стенки мала по сравнению с внешним радиусом цилиндра, уравнения (258) и (259) можно упростить, полагая

и считая малой величиной. Тогда

Рис. 228.

Если температура на внешней поверхности цилиндра отлична от нуля, вышеприведенные результаты можно использовать, подставляя в полученные формулы разность вместо

В случае очень тонкой стенки можно получить дальнейшие упрощения и в формулах (258) и (259) пренебречь членами по сравнению с единицей. Тогда

и распределение температурных напряжений по толщине стенки будет таким же, как и в случае плоской пластинки толщиной когда температура определяется формулой (рис. 224)

и края пластинки заделаны, в силу чего предотвращен ее изгиб от неравномерного нагревания (см. уравнение (м), § 148).

До сих пор предполагалось, что цилиндр является очень длинным и что рассматриваются напряжения, возникающие на достаточном удалении от концов. Вблизи концов задача о распределении температурных напряжений становится сложнее ввиду местных возмущений. Рассмотрим эту задачу для случая цилиндра с тонкой стенкой. Решение (260) требует, чтобы по торцам цилиндра нормальные усилия были распределены так, как показано на рис. 229, а.

Чтобы найти напряжения в цилиндре со свободными концами, мы должны наложить на напряжения (260) напряжения, вызываемые силами, равными по величине и противоположными по знаку тем, которые показаны на рис. 229, а. В случае тонкой стенки с толщиной эти силы можно привести к изгибающим моментам М, как показано на рис. 229, б, равномерно распределенным по краю цилиндра и равным

на единицу длины края. Чтобы определить напряжения, вызванные этими моментами, рассмотрим продольную полоску единичной ширины, вырезанную из цилиндрической оболочки. Такую полоску можно рассматривать как балку на упругом основании. Кривая прогибов этой полоски определяется уравнением

где

а с — радиус срединной поверхности оболочки. Имея эту формулу для кривой прогибов, можно для любого значения вычислить соответствующие напряжения изгиба и тангенциальные напряжения Максимальный прогиб полоски, очевидно, возникнет на конце где

Рис. 229.

Соответствующая компонента деформации в тангенциальном направлении равна

Компонента напряжений в тангенциальном направлении на внешней поверхности цилиндра получается тогда с помощью закона Гука из формулы

Если добавить это напряжение к соответствующему напряжению, полученному из формул (260), то максимальное тангенциальное напряжение на свободном конце тонкостенного цилиндра оказывается равным

Полагая находим

Таким образом, максимальное растягивающее напряжение на свободном конце цилиндра на 25% больше напряжения, получаемого по формулам (260) для точек, удаленных от концов. Из уравнения (с) можно видеть, что увеличение напряжения вблизи свободного конца цилиндра вследствие того, что оно зависит от прогиба и, носит местный характер и быстро убывает с увеличением расстояния от конца

Приближенный метод определения температурных напряжений в тонкостенном цилиндре, использующий кривую прогибов балки на упругом основании, можно также применить в случае, когда температура вдоль оси цилиндрической оболочки меняется. Соответствующее внешнее давление будет устранять радиальное расширение каждого элементарного кольца, тогда как осевое расширение происходит свободно. Устранение этого давления с целью соединения отдельных колец представляет собой легко решаемую задачу, уже не связанную с действием температуры.

ЗАДАЧИ

(см. скан)