§ 22. Изгиб балки равномерной нагрузкой

Пусть балка узкого прямоугольного поперечного сечения единичной ширины, опертая на концах, изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности как показано на рис. 28. Условия на верхней и нижней гранях балки имеют вид

Условия на концах представляются в форме

Последние два из уравнений (б) выражают тот факт, что на концах балки отсутствуют продольные усилия и изгибающие моменты.

Рис. 28.

Все условия (а) и (б) можно удовлетворить, комбинируя некоторые решения в форме полиномов, полученные в § 18. Начнем с решения (ж), иллюстрируемого рис. 25. Чтобы снять растягивающие напряжения вдоль края и касательные напряжения вдоль краев наложим на тело простое сжатие из решения (б) § 18, и напряжения показанные на рис. 23. Таким путем находим

Из условий (а) получаем

откуда

Подставляя эти значения в уравнения (в) и замечая, что выражение равно моменту инерции прямоугольного поперечного сечения единичной толщины, находим

Легко проверить, что эти компоненты напряжения удовлетворяют не только условиям (а) на продольных краях, но также и двум

первым условиям (б) на концах. Для того чтобы обращались в нуль изгибающие моменты на концах балки, наложим на решение (г) состояние чистого изгиба с напряжениями , показанными на рис. 22, и определим постоянную из условия, что при

Отсюда

Окончательно получаем

Первый член в этом выражении представляет напряжения, даваемые элементарной теорией изгиба, а второй член — необходимую поправку. Поправочный член не зависит от х и мал по сравнению с максимальным напряжением изгиба, если пролет балки велик по сравнению с ее высотой. Для таких балок элементарная теория изгиба дает достаточно точные значения напряжения Следует отметить, что выражение (33) является точным решением только в том случае, если нормальные условия на концах распределены по закону

т. е. если нормальные усилия на концах равняются напряжениям а при полученным по формуле (33). Главный момент и главный вектор этих усилий равны нулю. Следовательно, исходя из принципа Сен-Венана, мы заключаем, что их влияние на напряжения на значительном удалении от концов, скажем, на расстоянии, большем высоты балки, пренебрежимо мало. Таким образом, решение (33) в этих удаленных от концов точках является достаточно точным, если не приложены силы X.

Расхождение между точным решением (33) и приближенным решением, представленным первым членом (33), проистекает из того, что при выводе приближенного решения предполагалось, что продольные волокна балки находятся в условиях чистого растяжения. Между тем из решения (г) можно видеть, что между этими волокнами действуют сжимающие напряжения Эти напряжения и дают поправку, представленную вторым членом выражения (33). Распределение сжимающих напряжений по высоте балки показано на рис. 28, в. Распределение касательных

напряжений определяемых третьим уравнением (г), по поперечному сечению балки совпадает с тем, какое дает обычная элементарная теория изгиба.

Если вместо распределенной нагрузки балка нагружена силами собственного веса, решение должно быть модифицировано путем подстановки в (33) и в последние два уравнения (г) и добавления напряжений

Для этого случая распределение напряжений можно получить из выражений (29), полагая

Следовательно, оно представляет собой возможное напряженное состояние, возникающее под действием собственного веса и усилий на границе. На верхнем крае с имеем а на нижнем соответственно Таким образом, если к полученному ранее решению добавить напряжения, определяемые формулами (д), при то напряжения на обоих горизонтальных краях становятся равными нулю и нагрузка на балку будет состоять только из одной силы веса.

Перемещения и и можно найти методом, описанным в предыдущем параграфе. Предполагая, что в центре тяжести среднего поперечного сечения горизонтальное перемещение равно нулю, а вертикальное перемещение равно прогибу используя решения (г) и (33), находим

Из выражения для и можно видеть, что нейтральная ось балки не проходит по срединной линии. Благодаря сжимающему напряжению

срединная линия имеет деформацию растяжения откуда

Из выражения для находим уравнение кривой прогибов

Предполагая, что на концах балки прогиб равен нулю, находим

Множитель перед скобкой равен прогибу, который получается из элементарной теории в предположении, что поперечное сечение балки в процессе деформации остается плоским. Второй член в квадратных скобках представляет собой поправку, связанную с влиянием поперечной силы.

Дифференцируя уравнение (е) для кривой прогибов дважды по х, находим следующее выражение для кривизны:

Можно видеть, что кривизна не пропорциональна в точности изгибающему моменту Добавочный член в скобках представляет собой необходимую поправку к обычной элементарной формуле. Более общее исследование кривизны балки показывает, что поправочный член, содержащийся в выражении (35), может также использоваться для любого случая непрерывно изменяющейся интенсивности нагрузки. Влияние поперечной силы на прогибы в случае сосредоточенной нагрузки будет рассмотрено ниже (стр. 136).

Элементарный учет влияния поперечной силы на кривизну кривой прогибов балок дали Ренкин в Англии и Грасхоф в Германии. Если принять максимальную деформацию сдвига на нейтральной оси балки единичной ширины равной где — поперечная сила, то соответствующее увеличение кривизны определяется производной этой деформации сдвига по х. Эта производная равна Исправленное выражение для кривизны, получаемой из элементарного анализа, принимает тогда вид

Сравнивая это выражение с выражением (35), видим, что такое элементарное решение дает несколько завышенное значение поправки.

Поправочный член в выражении для кривизны (35) не может быть приписан одной только поперечной силе. Частично он связан со сжимающими напряжениями Эти напряжения распределяются по высоте балки неравномерно. Поперечное расширение в направлении х, производимое этими напряжениями, убывает от верхней грани балки к нижней, и таким путем ими вызывается обратная кривизна выпуклостью вверх. Эта кривизна вместе с влиянием поперечной силы и учитывается поправочным членом в уравнении (35).