§ 109. Кручение прямоугольных стержней

Использование мембранной аналогии сводит задачу к отысканию прогибов равномерно нагруженной прямоугольной мембраны, показанной на рис. 163. Эти прогибы должны удовлетворять уравнению (159)

и равняться нулю на границе.

Рис. 163.

Условие симметрии по отношению к оси у и граничные условия на сторонах прямоугольника удовлетворяются, если принять z в виде ряда

в котором постоянные коэффициенты, а функции одной только переменной у. Подставляя выражение (б) в уравнение (а) и замечая, что при постоянная в правой части (а) может быть представлена рядом Фурье

приходим к следующему уравнению для определения

из которого

Из условия симметрии поверхности прогибов мембраны относительно оси х следует, что постоянная интегрирования А должна быть равна нулю. Постоянная В определяется из условия, что прогибы мембраны равны нулю при

что дает

Общее выражение для поверхности прогибов мембраны, согласно формуле (е), принимает вид

Заменяя на получаем функцию напряжений

Компоненты напряжения теперь можно получить из уравнений (159) с помощью дифференцирования. Например,

Предполагая, что получаем, что максимальное касательное напряжение, соответствующее максимальному наклону мембраны, действует в средних точках длинных сторон прямоугольника. Подставляя в формулу (и), находим

или, учитывая, что

имеем

Бесконечный ряд в правой части при сходится очень быстро и вычислить с достаточной точностью для любого частного случая не представляет труда. Например, в случае

очень узкого прямоугольника становится очень большим числом, в силу чего суммой бесконечного ряда в (165) можно пренебречь, и для этого случая получаем

Эта формула совпадает с первым из уравнений (г) в предыдущем параграфе.

В случае квадратного поперечного сечения и мы находим из уравнения (165)

В общем случае получаем

где - численный множитель, зависящий от отношения Несколько значений этого множителя приведены в табл. 6.

ТАБЛИЦА 6. Коэффициенты в задаче о кручении стержня прямоугольного сечения (см. скан)

Определим теперь крутящий момент как функцию угла закручивания 0. Используя для этой цели формулу (153), находим

или, замечая, что

имеем

Ряд в правой части сходится очень быстро, и момент можно легко вычислить для любого значения отношения . В случае узкого прямоугольника можно принять

Тогда

В случае квадрата и уравнение (168) дает

В общем случае крутящий момент можно представить формулой

где - численный множитель, зависящий от величины отношения Несколько значений этого множителя даны в таблице 6.

Подставляя значение из формулы (171) в формулу (167), получаем максимальное касательное напряжение как функцию крутящего момента в виде

где - численный множитель, значения которого берутся из таблицы 6.