§ 11. Деформации в точке

Если известны компоненты деформаций уху в некоторой точке, то можно найти относительное удлинение по любому направлению, а также уменьшение прямого угла (деформацию сдвига) любой ориентации.

Рис. 17.

Линейный элемент (рис. 17, а), соединяющий точки после переноса, удлинения (или сжатия) и вращения переходит в результате деформации в линейный элемент Компоненты перемещения точки Р суть и и а компоненты перемещения точки имеют вид

Если отрезок на рис. 17, а перенести мысленно теперь таким образом, чтобы точка вновь совпала с Р, он окажется в положении (рис. 17, б), а отрезки представят компоненты перемещения точки относительно точки Р. Отсюда

Компоненты этого относительного перемещения по направлениям нормали к и вдоль соответственно можно найти в виде

пренебрегая малым по сравнению с углом Поскольку отрезок можно отождествить с дугой окружности с центром в точке Р, то представляет собой удлинение элемента Относительное удлинение отрезка обозначаемое через ее, равно Используя выражения (б) и (а), получаем

или

Эта формула дает относительное удлинение в направлении 0.

Угол на который поворачивается элемент равен Отсюда, согласно формулам (б) и (а),

или

Линейный элемент составляющий прямой угол с наклонен под углом к направлению оси х. Это означает, что его угол поворота определяется по формуле (г), где нужно заменить на Поскольку находим

Деформация сдвига Для направлений при этом равна откуда

или

Сравнивая формулы (в) с соотношениями (13), замечаем, что эти формулы можно получить из (13), заменяя на . Следовательно, каждому результату, полученному из соотношений (13) для напряжений а и соответствует результат для который

можно получить исходя из условий (в) и (е). В силу этого существуют два значения , отличающиеся друг от друга на 90°, для которых равно нулю. Эти значения 0 определяются из уравнения

Соответствующие деформации ее называются главными деформациями. Можно вычертить диаграмму в виде круга Мора, аналогичную рис. 13 или 16, ординатами которой являются величины а абсциссами — величины ее. Наибольшее значение будет определяться радиусом круга. Таким образом, максимальная деформация сдвига дается формулой