§ 24. Решение двумерной задачи при помощи рядов Фурье

Мы показали, что если по длине балки узкого прямоугольного поперечного сечения нагрузка распределена непрерывно, то в некоторых простых случаях может использоваться функция напряжений в виде полиномов. Гораздо большая степень общности решений получается, если взять эту функцию в виде ряда Фурье (по Каждая компонента нагрузки на верхней и нижней гранях балки может обладать той степенью общности, которая возможна в этих рядах. Например, компоненты нагрузки могут иметь разрывы.

Уравнение для функции напряжения

может быть удовлетворено, если взять функцию в виде

где любое целое число, а функция зависит только от у. Подставляя (б) в (а) и используя обозначение получаем следующее уравнение для определения

Общее решение этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Тогда функция напряжений определяется выражением

и соответствующие компоненты напряжения определяются формулами

Рассмотрим частный случай балки прямоугольного сечения, опертой по концам, под действием вертикальных непрерывно распределенных усилий на верхней и нижней гранях с интенсивностями соответственно. Рис. 31 соответствует случаю, когда и значения А и В положительны. Распределение напряжений для этого случая можно получить из решения (д).

Рис. 31.

Постоянные интегрирования можно определить из условий на верхней, и нижней гранях балки Эти условия имеют вид:

Подставляя эти значения в третье из уравнений (д), получаем

откуда

Используя условия на гранях и вторым из уравнений (д), находим

Складывая и вычитая эти уравнения и используя соотношения (ж), получаем

Подставляя эти значения в уравнения (д), находим следующие выражения

для компонент напряжения:

Эти напряжения удовлетворяют вдоль краев условиям, показанным на рис. 31. На концах балки напряжения равны нулю и имеются только касательные напряжения Эти напряжения выражаются двумя членами (см. уравнение Первый член, пропорциональный представляет напряжения, которые для верхней и нижней половин концевого поперечного сечения имеют одну и ту же величину, но противоположные знаки. Результирующая этих напряжений по всему концевому сечению равна нулю. Второй член, пропорциональный , имеет на концах балки результирующую, которая уравновешивает нагрузки, приложенные к продольным краям балки с.

Если эти нагрузки для обоих краев балки одинаковы, коэффициент А равен коэффициенту В, и реактивные усилия на концах балки обращаются в нуль. Рассмотрим этот частный случай более подробно, считая, что длина балки велика по сравнению с ее высотой. Согласно второму из уравнений (к) нормальное напряжение на срединной плоскости балки равно

Для длинных балок величина равная мала, если число полуволн невелико. В силу этого, подставляя в разложения

и пренебрегая членами высшего порядка малости по сравнению с получаем

Следовательно, для малых значений распределение напряжений по срединной плоскости практически совпадает с их распределением на обеих горизонтальных гранях балки Отсюда можно сделать вывод, что давление передается по высоте балки или пластинки без существенных изменений, если только изменения этого давления вдоль граней не происходят слишком быстро.

Касательные напряжения для этого случая очень малы. На верхней и нижней половинах поперечного сечения они имеют результирующие, необходимые для того, чтобы уравновесить небольшую разность между давлениями на горизонтальных гранях и на срединной плоскости

В самом общем случае распределение вертикальной нагрузки по верхней и нижней граням балки (рис. 32) можно представить в виде следующих рядов: для верхней грани

для нижней грани

Постоянные члены представляют равномерное нагружение балки которое рассматривалось в § 22. Напряжения, вызываемые членами, содержащими получаются путем суммирования решений, выражаемых формулами

Рис. 32.

Рис. 33.

Напряжения, вызываемые членами, содержащими легко получить из (к), если заменить на и наоборот и заменить на обратный знак при

Чтобы проиллюстрировать применение этого общего метода определения напряжений в прямоугольных пластинках, рассмотрим случай, показанный на рис. 33. Для этого случая симметричного нагружения члены с в выражениях (м) исчезают, а коэффициенты получаются обычным путем:

Члены представляют однородное сжатие в направлении оси у, равное Напряжения, вызываемые тригонометрическими членами, получаются при помощи решений (к) с заменой на в этом решении и изменением знака при

Рассмотрим срединную плоскость , на которой действует одно лишь нормальное напряжение Используя второе из уравнений (к), находим

Это напряжение было найдено Файлоном для бесконечно длинной полосы, когда размер а очень мал, т. е. для случая сосредоточенной силы

Результаты вычислений показаны на рис. 34. Можно видеть, что с ростом х напряжение падает очень быстро. При значении оно становится нулевым, а затем сжатие сменяется растяжением. Файлон исследовал также случай, изображенный на рис. 35, когда силы Р смещены друг относительно друга.

Рис. 34.

Рис. 35.

Представляет практический интерес распределение касательных напряжений по поперечному сечению в этом случае, которое представлено на рис. 36. Можно видеть, что для малых значений отношения это распределение отлично от параболического распределения, которое дает элементарная теория изгиба. Очень большие напряжения наблюдаются в верхней и нижней частях балки, тогда как ее срединная часть практически свободна от касательных напряжений.

В задаче, показанной на рис. 34, в силу симметрии на срединной линии отсутствуют касательное напряжение и вертикальное перемещение. Таким образом, верхняя часть балки работает как упругий слой, покоящийся на абсолютно жестком гладком основании.

Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда высота пластинки велика по сравнению с длиной 21 (рис. 37). Мы воспользуемся этим случаем, чтобы показать, что распределение напряжений по поперечным сечениям по мере увеличения расстояния от точки приложения силы Р быстро приближается к однородному. Используя второе из уравнений (к) с заменой на и выражения (н) для коэффициентов равных находим

где Если величина мала по сравнению с с, то — большое число и величиной можно пренебречь по сравнению с Можно также принять

Для поперечных сечений, находящихся на большом расстоянии от середины пластинки, можно считать, что

Рис. 36.

Рис. 37.

Подставляя эти значения в уравнение получаем

Если величина не очень мала, скажем этот ряд сходится очень быстро и при вычислении в нем достаточно удержать лишь несколько членов. Кроме того, принимая

и полагая находим

При например, получаем

Рис. 38.

Для получения хорошей точности достаточно взять в этом ряде три первых члена, и распределение напряжений будет таким, как показано на рис. 38, б. На том же рисунке изображено также распределение напряжений при и при Очевидно, что на расстоянии от конца, равном ширине полосы, распределение напряжений практически является однородным, что подтверждает вывод, который обычно делается на основе принципа Сен-Венана.

Для длинной полосы, такой, как показана на рис. 37, напряжения передаются с небольшими изменениями по ширине пластинки , если скорость их изменения вдоль края не слишком велика. Однако рассматриваемое решение требует некоторой поправки с целью учета этого фактора, особенно вблизи концов Решение задачи, представленной на рис. 37 при проведенное другим методом, дало практически однородное распределение сжимающих напряжений по среднему горизонтальному сечению в соответствии с рис. 38, в. Напряжения в окрестности точек приложения нагрузок Р будут рассмотрены позже (см. стр. 112).