§ 171. Волны со сферической симметрией в бесконечной среде
Возмущения типа симметричного взрыва внутри сферической полости излучают волны или импульсы, которые также обладают сферической симметрией. Перемещения при этом будут чисто радиальными. Перемещения и являются функцией сферической радиальной координаты 
и времени 
В силу симметрии эти деформации являются безвихревыми, и следовательно, мы будем иметь дело только с одной скоростью распространения 
(см. (273) или (277)).
Рис. 250.
Дифференциальное уравнение для и легко найти путем рассмотрения типичного элемента объема, определяемого четырьмя радиусами, как показано на рис. 250, т. е. малого «сферического квадрата» с радиальной толщиной 
Динамическое уравнение для радиального движения в этом случае имеет вид
Компоненты деформации определяются формулами
а закон Гука дает
Внося эти значения в уравнение (а), находим
Введем функцию 
аналогично тому, как это сделано в § 166 следующей формулой:
Тогда (как легко проверить, выполняя дифференцирование в левой части) получим, что уравнение (г) эквивалентно следующему:
Отсюда
где 
— произвольная функция. Если она не равна нулю, то мы можем найти частное решение уравнения (ж), которое также является функцией только одной переменной 
скажем, 
Однако это не внесет никакого вклада в перемещение (д). Таким образом, функцию 
можно положить равной нулю. Умножая уравнение (ж) на 
получаем
Сравнение с уравнением (275) и его решением (276) показывает, что общее решение уравнения (е) определяется выражением
Интерпретация этого выражения подобна той, которая использовалась для формулы (276). Функция 
представляет исходящую из начала координат волну, а функция 
волну, приходящую в начало координат. Первая из них удобна для исследования задачи о взрыве в полости тела. Последняя пригодна для решения задачи о взрыве на внешней границе тела. Примером последнего служит распространение волны, сходящейся к центру сплошного шара конечных размеров после внезапного приложения давления на всей его внешней поверхности.
