§ 46. Собственные решения для клиньев и вырезов
В § 45 компоненты напряжений (82) были взяты в виде разложений по положительным целым степеням 
соответствующим аналогичной форме функции напряжений. Однако если вернуться к ряду по 
в функции напряжений (80), то легко убедиться, что независимо от того, будет ли 
целым числом или нет, каждый член этого ряда будет являться функцией напряжений. Действительно, дифференциальное уравнение (39) удовлетворяется независимо от значения 
Это значение может быть комплексным, однако в этом случае мы можем использовать в качестве вещественной функции напряжений или действительную, или мнимую части полученной функции напряжений. Таким образом, вводя вместо 
показатель 
можно принять
где
Здесь 
- произвольные постоянные.
Компоненты напряжений и перемещений (если пренебречь членами, отвечающими перемещению абсолютно твердого тела) определяются формулами
где
Перемещения здесь соответствуют плоскому напряженному состоянию.
Рассмотрим теперь приложение этого метода к клиновидной области, ограниченной радиусами 
которые свободны от нагрузки, так что
Согласно 
это означает, что
а из (б) отсюда получаются четыре уравнения относительно постоянных 
. С помощью операций сложения и вычитания легко показать, что эти уравнения эквивалентны следующей системе:
Каждая из этих двух пар уравнений однородна, и следовательно, если выбрать число Я произвольно, то все четыре постоянных должны обращаться в нуль. Однако значения 
могут и отличаться от нуля при обращении в нуль определителя из коэффициентов, т. е. если
Это условие приводится к виду
Если взять значение 
, удовлетворяющее этому уравнению, то постоянные 
могут и не обращаться в нуль. Отношение 
определяется любым из двух уравнений 
Однако сама величина постоянной 
может оставаться произвольной.
Аналогично, рассматривая два других уравнения, 
получаем, что постоянные 
могут быть отличны от нуля, если 
удовлетворяет условию
Рассматривая условия 
совместно, заключаем, что только единственное значение 
удовлетворяет обоим уравнениям. Этот случай, однако, не представляет интереса. Таким образом, если одно из уравнений 
удовлетворяется, то другое удовлетворяться не будет. Это значит, что если 
не равны нулю, то 
должны быть равны нулю и обратно,
Рассматривая этот обратный (симметричный) случай, получаем, что если (п) удовлетворяется, то из первого уравнения (н) следует
Функция напряжений (а) принимает вид
и является единой комплексной функцией для каждого корня уравнения (п), приводящей к двум действительным решениям.
Исследование корней уравнения (п) показывает, что для клиновидных областей, т. е. при 
существует бесконечная система корней с положительными действительными частями, из которых все превышают единицу. Соответствующие функции напряжений с помощью уравнений 
приводят к напряжениям и перемещениям, которые стремятся к нулю вместе с 
Однако если К является корнем уравнения 
то и 
является корнем. Следовательно, существует и другая система корней, имеющих отрицательные дествительные части. Из-за них и напряжения, и перемещения будут безгранично увеличиваться, если 
стремится к нулю. Вершину клина, таким образом, нельзя рассматривать как ненагруженную, даже если результирующие сила и момент пары равны нулю. Для антисимметричного случая, описываемого уравнениями 
вывод будет таким же. При 
т. е. для пластинок с вырезами, корни уравнения (п) меняют характер. Изменение характера корней (о) происходит при значении угла 
257,4°.
Такого рода результаты были получены для различных условий на краях 
Если оба края закреплены 
выводы для клиновидной области 
с качественной стороны будут подобны. Если закреплен один край, а другой свободен от напряжений 
существуют функции напряжений, которые дают перемещения, стремящиеся к нулю при 
но безгранично увеличивающиеся напряжения, когда примерно 
Квадрант 
является интересным частным случаем, который показывает характер особенностей в задаче о растяжении полосы с одним закрепленным краем 3).
В частных задачах о клиньях и вырезах, в том числе в задачах с нагруженными радиальными краями, методы интегральных
преобразований непосредственно приводят к требуемым комбинациям частных решений, таких, как решения из §§ 38 и 39 с однородными решениями, рассмотренными в данном параграфе.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
