§ 132. Решение в полиномах

Рассмотрим решения уравнения (191), которые в то же время являются решениями уравнения Лапласа

Частное решение уравнения Лапласа можно искать в форме

где — функция только одной переменной Подставляя (а) в уравнение (192), получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для функции

Если обозначить через х и принять х за новую независимую переменную, то уравнение (б) примет вид

Это уравнение Лежандра. Два его фундаментальных решения, для обозначения которых используются обычно символы являются функциями Лежандра первого и второго рода. При функции представляют собой полиномы Лежандра

Используя эти полиномы в качестве в формуле (а), получаем соответствующие решения уравнения (192). Каждое из этих решений можно умножить на произвольную постоянную Возвращаясь к переменным по формулам

получаем полиномиальные решения уравнения (192) в форме

Эти полиномы являются также решениями уравнения (191). Из них мы можем получить новые решения уравнения (191), которые не являются решениями уравнения (192). Если служит решением уравнения (192), можно показать, что также будет решением уравнения (191). Выполняя операции, указанные в уравнении (191) в скобках, получаем

Повторяя ту же операцию снова, как показано в уравнении (191), получаем нуль, так как правая часть выражения (в) является решением уравнения (192). Следовательно, является решением уравнения (191). Умножая решения (194) на мы получаем следующие новые решения: