§ 7. Точки, расположенные вблизи границы
В наших прежних примерах узловые точки сетки оказывались строго на границе и для всех точек применялась одна и та же стандартная процедура релаксации. Но часто точки, лежащие вблизи границы, соединяются с ней более короткими нитями. Ввиду различия в длинах нитей приходится вносить некоторые изменени 
и в уравнения равновесия (11) и (19). Эти изменения будут сейчас рассмотрены в связи с примером, представленным на рис. 15. Плоский образец с полукруглыми вырезами подвергается действию растягивающих усилий, равномерно распределенных по концам. Допустим, что разность главных напряжений в любой точке определена фотоупругим методом, как это объяснено в главе 5, и что нам нужно определить сумму главных напряжений, которая, как мы уже видели (стр. 49), должна удовлетворять дифференциальному уравнению (6). Для точек, расположенных на границе, одно из главных напряжений известно; используя результаты фотоупругих экспериментов, можно определить и второе главное напряжение, в силу чего сумма главных напряжений вдоль границы будет известна. Таким образом, мы должны решать дифференциальное уравнение (6) при заданных значениях 
на границе. При использовании метода
Рис. 15.
конечных разностей и принимая квадратную сетку, заключаем, что в силу симметрии достаточно рассматривать лишь одну четверть образца. Эта часть образца, а также граничные значения функции 
показаны на рис. 16. Рассматривая на нем точку А, мы видим, что три нити, сходящиеся в этой точке, имеют стандартную длину 6, тогда как четвертая короче их и имеет, скажем, длину 
нашем случае 
Рис. 16.
Это можно учесть при выводе уравнения равновесия точки А. Его следует записать следующим образом:
или
Применяя к точке А стандартную процедуру релаксации и придавая 
приращение, равное единице, мы внесем показанные на рис. 17, а изменения в невязки. Эта схема должна использоваться при устранении невязок в точке А. Рассматривая точку В, мы видим, что в ней сходятся две укороченные нити. Обозначая их длины через 
находим, что при устранении невязок в точке В следует использовать схему, показанную на рис. 17, б. Внося эти изменения в узлах, находящихся вблизи границы, и используя для остальных узлов стандартный процесс релаксации, можно получить значения 
представленные на рис. 16.
В более общем случае, когда рассматривается уравнение (9) и в узловых точках приложены внешние нагрузки, обозначим через 
длины нитей в нерегулярной точке 0 квадратной сетки и будем считать, что в точке 0 действует нагрузка, отвечающая давлению 
Тогда уравнение равновесия примет вид
При 
это уравнение совпадает с нашим прежним уравнением (11), выведенным для регулярной точки. Используя уравнение (33), можно для каждого частного случая построить схему, подобную показанной на рис. 17.
Рис. 17.
С помощью изменений, рассмотренных в этом параграфе, процесс релаксации можно распространить на случаи, в которых нерегулярные точки располагаются вблизи границы.
