§ 116. Кручение тонкостенных труб

Используя мембранную аналогию, легко получить решение задачи о кручении для тонкостенных труб. Обозначим через и (рис. 172) уровни внешней и внутренней границ, а через АС и DB — поперечное сечение мембраны, натянутой на эти границы. В случае тонкой стенки мы можем пренебречь изменениями наклона мембраны по ее толщине и предположить что АС и BD — прямые линии. Это эквивалентно предположению, что касательные напряжения по толщине трубы распределены равномерно. Тогда, обозначая через разность в уровне этих двух границ, а через — переменную толщину стенки, получаем, что напряжение в любой точке, определяемое наклоном мембраны, равно

Рис. 172.

Таким образом, напряжение обратно пропорционально толщине стенки и в силу этого достигает максимума там, где толщина стенки минимальна.

Чтобы установить зависимость между напряжением и крутящим моментом М, снова используем мембранную аналогию и определим крутящий момент, исходя из объема Отсюда

здесь А — усредненное значение площади, заключенной между внешним и внутренним контурами поперечного сечения трубы. Из зависимости (б) получаем простую формулу для определения касательного напряжения

Для определения угла закручивания 0 применим формулу (160). Тогда

откуда

В случае трубы постоянной толщины значение постоянно и формула (177) дает

где — длина срединной линии кольцевого сечения трубы.

Рис. 173.

Если труба имеет входящие углы, как в случае, представленном на рис. 173, в этих углах может возникнуть значительная концентрация напряжений. Максимальное напряжение оказывается выше напряжения, полученного из уравнения (176), и зависит от радиуса а закругления входящего угла (рис. 173, б). Для определения этого максимального напряжения мы воспользуемся мембранной аналогией, как это уже делалось для входящих углов прокатных сечений (§ 112). Уравнение мембраны у входящего угла можно принять в форме

Заменяя на и учитывая, что (см. рис. 172), находим

Если предположить, что труба имеет постоянную толщину и обозначить через полученное по формуле (176) напряжение на

значительном расстоянии от угла, то из (в) найдем

Подставляя этот результат в формулу (г), имеем

Общее решение этого уравнения имеет вид

Предполагая, что выступающие углы поперечного сечения имеют закругления радиуса а, как показано на рисунке, можно определить постоянную интегрирования С из равенства

которое следует из гидродинамической аналогии (§ 114); действительно, если идеальная жидкость циркулирует по каналу, имеющему форму кольцевого поперечного сечения трубчатого элемента, то количество жидкости, проходящее через каждое поперечное сечение канала, должно оставаться постоянным. Подставляя выражение (е). для в уравнение (ж) и производя интегрирование, находим

далее из уравнения (е) следует

Для тонкостенной трубы отношения будут малыми, в силу чего формула (и) приводится к виду

Полагая получаем напряжение вблизи входящего угла. Оно показано на рис. 174. Другая кривая (А на рис. 174) была

получена методом конечных разностей без предположения, что мембрана в угле имеет форму поверхности вращения. Эта кривая подтверждает справедливость уравнения (к) для малых радиусов закруглений, скажем, до . Для больших радиусов закруглений значения, даваемые уравнением (к), чрезмерно высоки.

Рассмотрим теперь случай, когда поперечное сечение трубчатого элемента имеет не две, а большее число границ.

Рис. 174.

Рис. 175.

Взяв для примера случай, показанный на рис. 175, и предполагая, что толщина стенки очень мала, исходя из мембранной аналогии, можно получить для касательных напряжений в каждой части стенки формулы

где — уровни внутренних контуров

Величина крутящего момента, определяемая объемом определится формулой

где — площади, показанные на рисунке Штриховыми линиями.

Остальные уравнения, необходимые для решения задачи, получаются с помощью применения уравнения (160) к замкнутым кривым показанным на рисунке штриховыми линиями. Считая толщины постоянными и обозначая через длины соответствующих штриховых кривых, находим из рис. 175, что

Используя последнюю из формул (л) и соотношения (м) и (н), находим напряжения как функции крутящего момента

В случае симметричного поперечного сечения . В этом случае крутящий момент воспринимается внешней стенкой трубы и промежуточная стенка остается ненапряженной.

Чтобы получить угол закручивания для любого сечения, подобного показанному на рис. 175, нужно подставить значения напряжений в одно из уравнений Таким образом, угол можно получить как функцию крутящего момента