§ 135. Сила, приложенная в некоторой точке бесконечного тела

Если сила приложена в начале координат, то некоторые или даже все компоненты напряжения должны иметь этой точке особенности. Соответствующие решения можно получить, приняв за решение уравнения (192) равенство (а) на стр. 386. Считая значение уже выбранным, сравним равенство (а) с тем, которое получается, если в (а) заменить на т. е. с равенством

Коэффициент в уравнении (б) на стр. 3.86 станет равным и следовательно, будет иметь для то же значение, что и для Но тогда вместо равенства (а) можно

записать

Подставляя вместо (см стр. 337), находим следующее семейство решений уравнений (192) и (191):

которые являются также решениями уравнения (191). Умножая уравнения (202) на (см. стр. 387), получаем другую систему решений уравнения (191), а именно

Рис. 203.

Каждое из решений (202) и (203), а также любая их линейная комбинация, могут быть выбраны в качестве функции напряжений. Путем надлежащего подбора постоянных можно находить решения различных задач.

Для случая сосредоточенной силы возьмем первое из решений (203). Если опустить индексы, то функция напряжений принимает вид

где В — постоянная, которая подлежит определению. Подставляя это значение в формулы (189), находим соответствующие компоненты напряжений

Все эти напряжения имеют особенность в начале координат, где приложена сосредоточенная сила. Вейду этого примем начало координат за центр малой сферической полости (рис. 503) и рассмотрим усилия, дейстбующие на ее поверхности, согласно уравнениям (204). Можно показать, что результирующая этих усилий представляет силу, приложенную в начале координат в направлении Из условия равновесия кольцевого элемента,

примыкающего в полости (рис. 203), компонента поверхностной силы в направлении оси z равна

Используя уравнения (204) и формулы

находим, что

Результирующая этих сил, приложенных по поверхности полости, равна

Результирующая поверхностных сил в радиальном направлении равна нулю из условия симметрии. Если величину приложенной силы обозначить через Р, то имеем

Подставляя в формулы (204)

получаем напряжения, вызываемые силой Р, приложенной в начале координат в направлении оси Эта сила уравновешивается поверхностными усилиями на сферической или какой-либо иной границе, как бы ни была она велика; этого требуют формулы (204). Решение задачи являются трехмерным аналогом решения двумерной задачи, рассмотренной в § 42.

Подставляя в равенство (204), находим, что по координатной плоскости нет нормальных напряжений. Касательные напряжения по той же плоскости определяются формулой

Эти напряжения обратно пропорциональны квадрату расстояния от точки приложения силы.