§ 133. Изгиб круглой пластинки

С помощью приведенных решений можно исследовать некоторые задачи, представляющие практический интерес. В их числе находятся различные случаи изгиба симметрично нагруженных круглых пластинок (рис. 202). Беря, например, из (194) и (195) полиномы третьей степени, получаем функцию напряжений

Подставляя это выражение в соотношения (189), находим

Таким образом, компоненты напряжения по всей плите являются постоянными. С помощью соответствующего подбора постоянных мы можем определить напряжения в пластинке, когда на ее поверхности заданы любые постоянные значения

Возьмем теперь из (194) и (195) полиномы четвертой степени, что дает следующую функцию напряжений:

Подставляя ее в формулы (189), находим

Принимая получаем

Рис. 202.

Если z - расстояние от срединной плоскости пластинки, решение (в) определяет случай чистого изгиба пластинки моментами, равномерно распределенными вдоль ее границы.

Чтобы получить решение для круглой пластинки при нагружении равномерной нагрузкой, возьмем функцию напряжений в форме полинома шестой степени. Рассуждая так же, как и прежде, находим

После подстановки функции в (189) получаем следующие выражения для напряжений:

К этим напряжениям добавим напряжения

полученные из (197), если положить а также равномерное растяжение в направлении т. е. , которое получается из (196). Таким образом, приходим к выражениям для компонент напряжения содержащим четыре постоянные Эти постоянные можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить гпаничным условиям на верхней и нижней поверхностях пластинки

(рис. 202). Названные условия имеют вид

Здесь через обозначена интенсивность равномерно распределенной нагрузки, а через -толщина пластинки. Подставляя в эти уравнения выражения для компонент напряжения, определяем четыре постоянные Используя эти значения, получаем выражения для компонент напряжения, удовлетворяющие условиям (г), в виде

Можно убедиться, что напряжения распределяются в точности таким же образом, как в случае равномерно нагруженной балки узкого прямоугольного поперечного сечения (§ 22). Радиальные напряжения выражаются нечетной функцией от и на границе пластинки дают изгибающие моменты, равномерно распределенные вдоль границы. Чтобы получить решение для свободно опертой пластинки (рис. 202), наложим на (д) решение (в) для чистого изгиба и выберем постоянную 64 так, чтобы получить на границе

Тогда окончательное выражение для примет вид

а выражение для этого напряжения в центре пластинки

Элементарная теория изгиба пластинок, основанная на допущении, что линейные элементы пластинки, перпендикулярные срединной плоскости остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности пластинких), дает следующую

формулу для определения радиальных напряжений в центре:

Сравнивая эту формулу с формулой (е), видим, что добавочные члены в точном решении малы, если толщина пластинки мала по сравнению с радиусом а.

Следует отметить, что с помощью наложения чистого изгиба мы сняли изгибающие моменты вдоль границы пластинки. Однако существует еще радиальное напряжение на границе, определяемое выражением

Результирующая этих напряжений на единицу длины границы и момент от них равны нулю. Отсюда, в соответствии с принципом Сен-Венана, можно утверждать, что устранение этих напряжений незначительно повлияет на распределение напряжений в пластинке на некотором расстоянии от края.

Беря для функции напряжений полиномы более высокой степени чем шестая, мы можем исследовать случаи изгиба круглой пластинки при неравномерно распределенной нагрузке. Вводя функции так же, как в § 132, можно найти решения для круглой пластинки с отверстием в центре. Все эти решения удовлетворительны лишь тогда, когда прогибы пластинки остаются малыми по сравнению с толщиной. Для больших прогибов следует учитывать растяжение срединной плоскости пластинки.