§ 17. Функция напряжений
Мы уже показали, что решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с условием совместности и граничными условиями. Начнем со случая, когда единственным видом объемных сил являются силы тяжести. Тогда должны удовлетворяться следующие уравнения
(см. уравнения (19) и (24)):
К данным уравнениям следует добавить граничные условия (20). Обычный метод решения этих уравнений состоит во введении некоторой новой функции, называемой функцией напряжений. Как легко проверить, уравнения (а) удовлетворяются, если ввести некоторую функцию 
от х и у, которая связана с компонентами напряжения следующими зависимостями:
Таким образом можно получить множество решений уравнений равновесия (а). Действительным решением задачи будет то из них, которое удовлетворяет также уравнению совместности (б). Подставляя выражения (29) для компонент напряжения в уравнение (б) находим, что функция напряжений 
должна удовлетворять уравнению
Таким образом, решение двумерной задачи, когда единственной объемной силой является вес тела, сводится к отысканию решения уравнения (30), которое удовлетворяет граничным условиям (20). В следующих главах этот метод решения будет применен к нескольким примерам, представляющим практический интерес.
Рассмотрим теперь несколько более общий случай объемных сил, предположив, что эти силы обладают потенциалом. Тогда компоненты X и 
в уравнениях (18) определятся уравнениями
где V — потенциальная функция. Уравнения (18) принимают вид
Эти уравнения имеют ту же форму, что и уравнения (а); они будут удовлетворены, если положить
где 
— функция напряжений. Подставляя выражения (31) в уравнение
совместности (25) для плоского напряженного состояния, получаем
Аналогичное уравнение можно получить и для случая плоской деформации.
Когда объемной силой является только вес, потенциал V равен 
. В этом случае правая часть уравнения (32) обращается в нуль. Принимая для уравнения (32) или (30) в качестве решения 
находим из (31) или (29) следующее распределение напряжений
Это одно из возможных напряженных состояний в двух измерениях, возникающих под действием силы тяжести. Это же состояние получается при действии гидростатического давления 
причем напряжения обращаются в нуль при 
Оно может возникнуть в пластинке или цилиндре произвольной формы при соответствующих граничных условиях для напряжений. Если обратиться к элементу, показанному на рис. 12, то уравнение (13) показывает, что на границе должно действовать нормальное давление 
а касательное напряжение должно быть нулевым. Если внешние силы действуют на пластинку каким-то иным образом, то мы должны наложить нормальное растяжение на границе 
и новые внешние ейлы. Обе системы находятся в равновесии, и определение их влияния сводится к решению задачи для одних только усилий на поверхности без объемных сил.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
