§ 55. Аналитические функции и уравнение Лапласа
Аналитическую функцию 
можно рассматривать как функцию от х и у обладающую частными производными. Отсюда
поскольку 
Аналогично
поскольку 
Если 
представить в форме 
то получим
Сравнивая равенства (в) и (а), получаем
Замечая, что 
- действительные числа и что 
а также, что равенство (г) требует равенства порознь его действительных и комплексных частей, находим
Мы получили уравнения Коши—Римана. Исключая 
путем дифференцирования первого уравнения по х, второго — по у и сложения получаемых равенств, будем иметь
Это уравнение называется уравнением Лапласа, а любое его решение называется гармонической функцией. Таким же образом, исключая а из уравнений (д), найдем
Следовательно, если две функции а и 
переменных х и у являются действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции 
то каждая из них будет решением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа встречается во многих физических задачах, включая задачи теории упругости (см., например, уравнение (б) § 17).
Функции а и Р называются сопряженными гармоническими функциями. Ясно, что если дана некоторая гармоническая функция а, уравнения (д) будут с точностью до постоянной определять другую функцию 
которая является сопряженной по отношению к функции а.
В качестве примеров нахождения гармонических функций из аналитических функций z рассмотрим функции 
где 
— действительная постоянная. Получаем зависимость
показывающую, что 
- гармонические функции. Заменив 
на 
находим, что 
— также гармонические функции. Отсюда следует, что и функции
— гармонические функции, так как они представляют собой результат сложения и вычитания предыдущих функций с коэффициентами 1/2. Из соотношения
получаем гармонические функции
Из выражения
находим гармонические функции
Легко проверить, что функции (к) и (л) удовлетворяют уравнению Лапласа в полярных координатах (см. уравнение (ж), стр. 85), т. е.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
