§ 137. Местные напряжения вокруг сферической полости

В качестве второго примера рассмотрим распределение напряжений вокруг малой сферической полости в стержне, подвергнутом равномерному растяжению величиной (рис. 206). В случае сплошного растянутого стержня нормальная и касательные компоненты напряжения, действующего на сферической поверхности, равны

Рис. 206.

Чтобы получить решение для случая малой сферической полости радиуса а, мы должны наложить на поле простого растяжения систему напряжений, для которой компоненты напряжения на сферической поверхности равны по величине и противоположны по знаку напряжениям, определяемым формулами (а), и обращаются в нуль на бесконечности.

Беря из предыдущего параграфа напряжения (б), вызванные действием двух сил в направлении z, и напряжения (в), вызванные центром сжатия, можно представить соответствующие напряжения, действующие по сферической поверхности радиуса а в виде

где А и В — постоянные, подлежащие определению. Как видим, комбинируя напряжения (б) и (в), нельза обратить в нуль напряжения от растяжения (а), и нужно добавить еще некоторое напряженное состояние.

Взяв из решения (202) функцию напряжений

получаем по формулам (189) соответствующие компоненты напряжения

Если теперь воспользоваться уравнениями (а) предыдущего параграфа, то компоненты напряжения, действующего на сферической поверхности радиуса с, будут

Комбинируя системы напряжений (б), (в), (д), находим

Накладывая эти напряжения на напряжения, определяемые формулами (а), получаем, что сферическая поверхность полости будет свободна от напряжений, если будут удовлетворены условия

откуда

Полное напряжение в любой точке получится теперь наложением на простое растяжение напряжений, определяемых формулами (г), напряжений (206), вызванных действием двойных сил, и напряжений от центра сжатия, определяемых формулами (в) и (д) предыдущего параграфа.

Рассмотрим, например, напряжения, действующие по плоскости Из условия симметрии на этой плоскости нет касательных напряжений. Из формул (г), подставляя получаем

Из формул (206) при имеем

Из уравнения (д) предыдущего параграфа

Полное напряжение на плоскости отсюда равно

При находим

Полагая получаем

Таким образом, максимальное напряжение оказывается примерно вдвое больше равномерного растяжения приложенного к стержню. Это увеличение напряжения носит резко выраженный местный характер. С увеличением напряжение (н) быстро приближается к значению Взяв, например, находим

Таким же путем для точек на плоскости находим

Используя формулы (и) и полагая находим, что растягивающее напряжение вдоль экватора полости составляет

На полюсах полости или имеем

Следовательно, продольное растяжение вызывает в этих точках сжатие.

Комбинируя растяжение в одном направлении и сжатие в перпендикулярном направлении, мы можем получить решение для распределения напряжений вокруг сферической полости в случае чистого сдвига. Можно показать, что в этом случае максимальное касательное напряжение определяется формулой

Результаты этого параграфа представляют интерес для практики при исследовании влияния малых полостей на предел выносливости образцов, подвергнутых действию циклических напряжений.