Глава 13. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

§ 148. Простейшие случаи распределения температурных напряжений. Метод устранения деформаций

Одной из причин появления напряжений в сплошном теле является неравномерный нагрев. С увеличением температуры элементы тела расширяются. Такое расширение в сплошном теле обычно не, может происходить свободно, и вследствие нагрева возникают напряжения.

С этими напряжениями можно связать, например, появление трещин в стекле, когда его поверхность подвергается быстрому нагреву.

Рис. 224.

Другим примером является усталостное разрушение в результате изменений температуры. Последствия таких температурных напряжений следует учитывать во многих видах инженерных расчетов, например в расчетах турбин, реактивных двигателей и ядерных реакторов.

Простые задачи о температурных напряжениях можно легко свести к уже рассмотренного типа задачам о действии усилий на границе тела. В качестве первого примера рассмотрим тонкую прямоугольную пластинку постоянной толщины, в которой температура Т является четной функцией от у (рис. 224) и не зависит от х и z. Продольное температурное расширение будет полностью устранено, если приложить к каждому элементу

пластинки продольное напряжение

которое является сжимающим, если температура Т положительна. Поскольку в поперечном направлении пластинка расширяется свободно, приложение напряжения (а) не вызовет поперечных нормальных напряжений. Для того чтобы напряжение (а) действовало по всей пластинке, остается только распределить сжимающие усилия величиной (а) по концам пластинки. Эти сжимающие усилия полностью устранят любое расширение пластинки в направлении оси х, связанное с ростом температуры Т. Чтобы получить температурные напряжения в пластинке, свободной от внешних усилий, мы должны наложить на напряжения (а) такие напряжения, которые вызываются в пластинке растягивающими усилиями интенсивностью распределенными по концам. Эти силы имеют результирующую

и на достаточном расстоянии от концов вызывают приблизительно равномерное распределение растягивающих напряжений интенсивностью

При этом температурные напряжения в пластинке со свободными концами, на достаточном удалении от последних, определятся формулой

Считая, например, что температура распределяется по параболическому закону

из уравнения (б) получаем

Это распределение напряжений показано на рис. 224, б. Вблизи концов распределение напряжений, вызываемых растягивающими усилиями, неоднородно и должно рассчитываться методами, учитывающими влияние концов, подобно тому, как это сделано в §§ 28 и 93.

Если распределение температуры Т не симметрично по отношению к оси х, то следует вновь исходить из сжимающего напряжения (а), устраняющего деформацию . В несимметричных случаях это напряжение вызывает не только результирующее усилие но также и результирующий момент Чтобы удовлетворить условиям равновесия, нужно наложить на сжимающие напряжения (а) равномерное растяжение, определенное так же, как и ранее, и напряжения изгиба определенные из условия, чтобы момент от усилий, распределенных по поперечному сечению, равнялся нулю. Тогда

откуда

В результате полное напряжение

При этом предполагается, что пластинка является тонкой в направлении оси Допустим теперь, что ее размер в направлении оси велик. Тогда получим пластинку со срединной плоскостью и толщиной Пусть, как и ранее, температура Т не зависит от х и z и является функцией одной только переменной у.

Свободное температурное расширение элемента пластинки в направлениях х и z будет полностью устраняться приложением напряжений полученных из соотношений (3), в которых полагается Эти соотношения тогда дадут

Элементы можно привести в такое состояние с помощью приложения к краям сжимающих усилий, распределение которых дается формулой (д). Температурные напряжения в пластинке, свободной от внешних усилий, получаются наложением на напряжения (д) напряжений, вызванных приложением по краям равных по величине и противоположных по знаку усилий. Если Т — четная функция у, такая, что ее среднее

значение по толщине пластинки равно нулю, то результирующее усилие на единицу длины края также равно нулю, и согласно принципу Сен-Венана (§ 19) оно вызывает напряжения только вблизи края.

Если среднее значение температуры Т не равно нулю, то равномерное растяжение в направлениях х и z, отвечающее результирующему усилию на краю, должно быть наложено на сжимающие напряжения (д). Кроме того, если распределение температуры несимметрично относительно плоскости мы должны добавить напряжения изгиба. Таким путем приходим окончательно к формуле

которая аналогична формуле (г). По формуле (е) легко найти температурные напряжения в пластинке, если известно распределение температуры по ее толщине.

Рассмотрим, например, пластинку, которая вначале имеет всюду одинаковую температуру а затем охлаждается путем установления на поверхностях постоянной температуры . С помощью метода Фурье распределение температуры в каждый момент времени можно определить выражением

где — некоторые постоянные. Подставляя (ж) в равенство (е), находим

По прошествии некоторого времени первый член приобретает доминирующее значение, и мы можем принять

При получаем растягивающие напряжения

На срединной плоскости имеем сжимающие напряжения

Точки с нулевыми напряжениями получаются из уравнения

откуда

Если на поверхностях пластинки устанавливается различная температура то через некоторое время возникнет стационарное состояние теплового потока и температура после этого определяется линейной функцией

Подстановка выражения (к) в равенство (е) показывает, что температурные напряжения будут равны нулю, если, конечно, на пластинку не наложены внешние связи. Если ее края полностью защемлены и не могут перемещаться и вращаться, то напряжения, вызываемые нагревом, определятся уравнениями (д). Например, если то из (к) имеем

а уравнения (д) дают

Максимальное напряжение определяется по формуле

Толщина пластинки в эту формулу не входит, однако в случае толстых пластинок разность температур между поверхностями обычно больше, чем для тонких. Следовательно, толстая пластинка из хрупкого материала более подвержена разрушению из-за температурных напряжений, чем тонкая.

Если, как это встречается во многих приложениях, одна поверхность пластинки находится в контакте с нагретым газом с периодически меняющейся температурой, температура Т в пластинке будет испытывать соответствующие циклические изменения, которые накладываются на стационарный тепловой поток. Амплитуда температурных изменений в материале пластинки у ее

поверхности обычно мала по сравнению с температурой нагретого газа. Кроме того, амплитуда температуры в пластинке быстро убывает с увеличением расстояния от поверхности пластинки. Например, при 110 циклах в минуту амплитуда температуры в стальной пластинке толщиной 3,5 см оказалась равной 10°С на поверхности и на глубине 0,5 см ниже поверхности, тогда как температура газа обладала амплитудой 640°С. В таких условиях второй и третий члены в выражении (е) становятся очень малыми по сравнению с первым, что дает изменение напряжения при

В качестве следующего элементарного примера рассмотрим шар большого радиуса и допустим, что в малом сферическом объеме радиуса а в центре большого шара происходит повышение температуры на величину Т. Поскольку малый сферический элемент не может свободно расширяться, на его поверхности возникнет давление Радиальное и тангенциальное напряжения, вызываемые этим давлением в любой точке шара радиуса можно вычислить по формулам (207) и (208). Считая, что внешний радиус шара очень велик по сравнению с а, получаем из этих формул

На расстоянии от центра получаем

и увеличение этого радиуса, вызванное приложением давления составляет

Это приращение должно быть равно приращению радиуса нагретого сферического элемента, вызываемого повышением температуры и давлением Таким образом, получаем уравнение

откуда

Подставляя это значение в уравнение получаем формулы для напряжений вне нагретого элемента

ЗАДАЧИ

(см. скан)