§ 10. Решение задач с помощью ЭВМ

В плоских и осесимметричных задачах с более сложными контурами и более сложными условиями нагружения, чем в рассмотренных нами простых случаях, число конечно-разностных уравнений, необходимых для достижения требуемой на практике точности, становится слишком большим для ручного счета. В таких случаях для решения задач составляются программы и используются электронные цифровые вычислительные машины (ЭВМ).

Программа должна реализовать тот или иной из основных методов решения таких систем уравнений. Метод релаксации для машинных вычислений не вполне пригоден. С применением ЭВМ можно использовать прямые методы, например метод гауссовых исключений или правило Крамера, однако число рассматриваемых уравнений при этом остается весьма ограниченным. В то же время итерационные схемы позволяют эффективно решать системы с несколькими тысячами неизвестных, если матрица системы уравнений обладает определенными свойствами. Последнее требование делает более удобным решение задач в перемещениях, а не в функциях напряжений.

Результаты, полученные для неоднородной сетки, имеющей 525 внутренних и граничных точек, показаны на рис. 28. Физическая задача состоит в отыскании напряжений в цилиндре под действием внутреннего давления, причем толщина стенки цилиндра меняется в виде галтели, как показывает осевое сечение на рис. 29. Задача является осесимметричной и в каждой точке имеет по две компоненты перемещения; всего следует найти 1050 неизвестных. Кривые на рис. 28 показывают значения поверхностных напряжений в зоне галтели (угловая координата а показана на рис. 28). Кружками и квадратиками показаны результаты фотоупругих измерений, приведенные для сравнения.

Конечно-разностные уравнения, которые нужно решать на ЭВМ, можно вывести различными способами. В § 1 настоящего Приложения показано, как их можно получить путем математического перехода от дифференциальных уравнений сплошной

среды в частных производных. Но можно использовать также вариационные методы. Например, в задаче, изображенной на рис. 29, потенциальная энергия системы выражалась сначала в виде суммы, включавшей узловые перемещения, а затем минимизировалась.

Рис. 28.

В § 3 настоящего Приложения указан способ «физического» перехода от сплошной системы мембраны к сетке равномерно растянутых нитей.

Рис. 29.

Конечно-разностные уравнения выводятся при этом как физические уравнения равновесия для конечного элемента сетки. Аналогичные процедуры для более сложных задач используются в так называемом методе конечных элементов.