§ 141. Давление между даума соприкасающимися телами. Более общий случай

Более общий случай сжатия соприкасающихся упругих тел можно исследовать таким же образом, как и случай сжатия сферических тел, рассмотренный в предыдущем параграфе. Проведем касательную плоскость в точке контакта и примем ее за плоскость ху (рис. 210). Поверхности тел вблизи контакта, если пренебречь малыми величинами высших порядков, можно представить уравнениями

Расстояние между двумя точками М и определится тогда формулой

Осям х и у можно всегда придать такие направления, чтобы исчезли члены, содержащие произведения Тогда

где A и B — постоянные, зависящие от величин главных кривизн соприкасающихся поверхностей и от угла между плоскостями главных кривизн для этих поверхностей. Если обозначить через главные радиусы кривизны в точке контакта для одного из тел, а через же величины для другого тела, и через обозначить угол между нормальными плоскостями, содержащими радиусы кривизны то постоянные А и В

определятся из следующих уравнений:

Можно показать, что входящие в (в) величины А и В положительны, так как должна быть положительной сумма Отсюда можно сделать вывод, что все точки с одним и тем же расстоянием лежат на эллипсе. Следовательно, если тела сдавливаются в направлении, нормальном к касательной плоскости в точке О, то поверхность контакта будет иметь эллиптическую границу.

Пусть величины имеют тот же смысл, что и в предыдущем параграфе. Тогда для точек на поверхности контакта имеем

или

Эта зависимость получена из геометрических соображений. Рассмотрим теперь местную деформацию поверхности контакта. Считая, что эта поверхность очень мала, и применяя уравнение (215), полученное для полубесконечных тел, получаем для суммы перемещений следующее выражение:

где — давление, действующее на бесконечно малый элемент поверхности контакта, расстояние от этого элемента до рассматриваемой точки. Интегрирование должно распространяться по всей области поверхности контакта. Используя обозначения (226), из формул (д) и (е) получаем

Задача теперь состоит в том, чтобы найти распределение давления, удовлетворяющее уравнению (ж). Герц показал, что это требование удовлетворяется, если предположить, что интенсивность давления на поверхности контакта представляется ординатами полуэллипсоида, построенного на поверхности контакта. Максимальное давление тогда, очевидно, будет действовать в центре поверхности контакта. Обозначая его через а через а и Ь — полуоси эллиптической границы поверхности контакта, можно

получить максимальное давление из уравнения

откуда

Как видим, это максимальное давление в полтора раза превышает среднее давление по поверхности контакта. Чтобы вычислить это давление, мы должны знать величины полуосей а и Аналогично тому, как мы действовали в случае сферических тел, получаем

где величина определяется из уравнений (г), а коэффициенты являются числами, зависящими от отношения Используя обозначение

получаем значения тип для различных значений 0, представленные в приведенной ниже табл. 11.

ТАБЛИЦА 11 (см. скан)

Рассматривая, например, контакт колеса с цилиндрическим ободом радиуса с рельсом, имеющим цилиндрический радиус головки см, найдем при подстановке в уравнения (г)

Затем путем интерполяции находим из таблицы

Подставляя найденные значения в уравнения (234) и принимая находим

При силе Р, равной получаем

где площадь контакта, и наибольшее давление в центре будет

Зная распределение давления, можно найти напряжения в любой точке. Таким путем было показано, что точка максимального касательного напряжения лежит на оси z на некоторой малой глубине зависящей от величины полуосей а и Например, , когда , когда Соответствующие значения максимального касательного напряжения составляют (при

Рассматривая точки на эллиптической поверхности контакта и направляя оси х и у по полуосям а и получаем для главных напряжений в центре поверхности контакта формулы

Для концов осей эллипса находим Растягивающие напряжения в радиальном направлении равны сжимающим напряжениям в окружном направлении. Следовательно, в этих точках действует чистый сдвиг. Величина этого сдвига для концов большой оси равна

а для концов малой оси

где Когда приближается к а и граница поверхности контакта приближается к окружности, напряжения, определяемые формулами (к), (л) и (м), приближаются к напряжениям, полученным в предыдущем параграфе для случая сжатия шаров.

Рис. 213.

Более детальное исследование напряжений для всех точек на поверхности контакта показывает, что при максимальное касательное напряжение определяется формулой При максимальное касательное напряжение действует в центре эллипса и может быть найдено из приведенного выше уравнения

При увеличении отношения получаем все более и более узкие эллипсы контакта, и в пределе при приходим к случаю контакта двух цилиндров с параллельными осями 2). Поверхность контакта в этом случае превращается в узкий прямоугольник. Распределение давления по ширине поверхности контакта (рис. 213) представится полуэллипсом. Если ось х перпендикулярна плоскости рисунка, через обозначена половина ширины поверхности контакта, а через Р — нагрузка на единицу длины поверхности контакта, то из полуэллиптического распределения давления получаем

откуда

Исследование местной деформации дает для величины следующее выражение:

где - радиусы цилиндра, - постоянные, определяемые уравнениями (226). Если оба цилиндра состоят из одного и того же материала, то

В случае двух равных радиусов

Для случая контакта цилиндра с плоской поверхностью:

Исключая из равенств (236) и (235), находим

Если оба цилиндра состоят из одного и того же материала и то

В случае контакта цилиндра с плоской поверхностью

Зная можно определить напряжения в любой точке. Эти расчеты показывают, что точка с максимальным касательным напряжением лежит на оси на определенной глубине. Изменение компонент напряжения с глубиной при показано на рис. 213. Максимальное касательное напряжение достигается на глубине и его величина составляет 0,3040.