§ 66. Решения в биполярных координатах

Рассмотрим круглый диск с эксцентричным отверстием, подвергнутый действию давления по внешней границе и давления по границе отверстия. Полученные компоненты напряжения будут также служить решением задачи о круглой толсто стенной трубе с эксцентричным отверстием.

Пусть внешняя граница будет окружностью принадлежащей семейству окружностей а контур отверстия будет окружностью . Две такие окружности представлены жирными линиями на рис. 120. Из выражения для у в уравнениях (г) § 65 следует, что эти окружности имеют радиусы

и и что их центры находятся на расстояниях и от начала координат. Таким образом, если заданы радиусы и расстояние между центрами, можно определить

Если обходить любую окружность против часовой стрелки, начиная двигаться влево от оси у (рис. 120), координата будет изменяться от — до . Следовательно, функции, которые должны описывать компоненты напряжения и перемещения, должны при иметь те же значения, что и при . Это будет обеспечиваться, если они будут периодическими функциями от с периодом Это означает, что комплексные потенциалы можно взять в форме

где — целое число. Тем же свойством обладают и их производные по (см. уравнение (д) § 65).

Если такие функции ввести в уравнения (90) и (91), примененные к случаю любой окружности то в силу периодичности соответствующее усилие и момент будут равны нулю. Так как пластинка, ограниченная такой окружностью, находится в равновесии, это условие должно сохраняться и для полного решения.

Потребуем также, чтобы функция имела вид где D-постоянная. Подставляя ее в приведенные выше равенства (90) и (91), мы видим, что момент, определяемый уравнением (91), будет равен нулю только в том случае, если D - действительное число. Следовательно, D и нужно принять таким. Рассматривая уравнение для перемещений (86), находим, что упомянутая функция, так же как и функция (а), используемые в качестве или дают поле перемещений, свободное от разрывов.

Поле равномерного всестороннего растяжения или сжатия, которое является частью решения, получается из комплексного потенциала где А — действительное число. Соответствующая действительная функция напряжений, согласно (84), имеет вид

С помощью уравнений (г) из § 65 ее можно выразить в биполярных координатах в форме

Рассматривая функции вида (а) при замечаем, что поскольку поле напряжений в данной задаче является симметричным относительно оси у, мы должны выбрать функции (а) так, чтобы соответствующие им напряжения обладали этим свойством симметрии. Следовательно, мы должны принять

где — действительные числа, и

где — действительные числа.

Действительная функция напряжений, соответствующая комплексным потенциалом (в), согласно уравнению (84) имеет вид

Если принять члены, содержащие в числителях, не будут зависеть от и каждый числитель в целом будет зависеть от только за счет тех членов, которые содержат так же, как функция (б). То же справедливо в отношении комплексных потенциалов (г), если принять Таким образом, оказывается, что для решения данной задачи можно использовать функции более частного вида.

Принимая, таким образом,

с помощью уравнений (96), (97), а также (а) и (е) § 65 находим, что соответствующие компоненты напряжения определяется формулами

Аналогично функции

дают

Компоненты напряжения, получающиеся в случае

определяются уравнениями

Состояние равномерного всестороннего растяжения, определяемое формулой

приводит к зависимостям

или

Решение рассматриваемой задачи можно теперь получить с помощью суперпозиции напряженного состояния, представленного комплексными потенциалами Собирая члены, представляющие в уравнениях находим, что обращение в нуль на границах дает

Выражая В и С через получаем

Нормальное напряжение можно найти путем вычитания действительной части уравнения (ж) из уравнения (е) и аналогично из других соответствующих пар уравнений. На границе для следует принять значение а на границе значение — Если использовать выражения для В и С, определяемые уравнениями то эти граничные условия приведут к двум уравнениям

откуда

Отысканием этих постоянных и постоянных, найденных согласно завершается определение комплексных потенциалов. Когда действует только внутреннее давление окружное напряжение на краю отверстия оказывается равным

Выражение для максимального значения этого напряжения уже было дано на стр. 88.

Общий вид функции напряжений в биполярных координатах, выраженной в рядах, дал Джеффри. Легко найти соответствующие этой функции комплексные потенциалы, которые включают

рассмотренные здесь функции вместе с биполярным аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, когда в задаче присутствуют дислокации и сосредоточенные силы. Такой способ применялся к задаче о бесконечной пластинке с сосредоточенной силой, приложенной в произвольной точке, к задаче о полубесконечной области с круговым отверстием при действии растягивающей нагрузки, параллельной прямолинейному краю или плоской границе, а также при действии собственного веса. Кроме того, таким способом рассматривались» бесконечная пластинка с двумя отверстиями или одним отверстием, образованным двумя пересекающимися окружностями.

Решения были даны также для круглого диска под действием сосредоточенной силы в любой точке , для диска подвешенного в некоторой точке и находящегося под действием собственного веса, для диска, вращающегося вокруг эксцентричной оси, как с использованием биполярных координат, так и без использования их. Рассматривалось также влияние круглого отверстия в полубесконечной пластинке с сосредоточенной силой на прямолинейной границе.

Другие виды криволинейных координат. Уравнение

из которого следует

где а, b и с — постоянные, дает семейство кривых которое может включать различные овальные формы, в том числе квадрат с закругленными углами. Влияние отверстия такой формы в растянутой пластинке исследовал, используя действительную

функцию напряжений, Гринспэн. С помощью некоторого обобщения этих координат Грин получил решения для треугольного отверстия с закругленными углами; использование некоторого другого преобразования координат позволило ему рассмотреть случай строго прямоугольного отверстия. В последнем случае заостренные углы приводили к бесконечным коэффициентам концентрации напряжений.

Криволинейные координаты

где — действительные постоянные, были применены Вебером к задаче о полубесконечной пластинке с зубчатой границей, образованной рядом расположенных на равных расстояниях полукруглых вырезов. Когда расстояния между центрами вырезов вдвое превышают диаметр выреза, коэффициент концентрации при растяжении оказался равным 2,13. Значение этого коэффициента для одного выреза составляет 3,07 (см. стр. 116).

Произвольные формы. Кикукава разработал и применил методы решения задач для отверстий и закруглений заданной произвольной формы. По этому методу последовательные улучшения начального конформного отображения производятся до тех пор, пока не будет достигнуто адекватное приближение к заданной форме области. Подробные результаты получены для задач о концентрации напряжений в растягиваемой пластинке со следующими возмущающими факторами: 1) отверстие ромбовидной формы с круглыми закруглениями по углам, 2) двойной вырез в полосе, причем каждый из вырезов имеет две параллельные прямолинейные стороны, соединенные полуокружностью, что придает вырезу форму буквы закругленная в виде четверти окружности галтель в месте перехода пластинки от конечной ширины до ширины бесконечной. Результаты для случая 2) очень близки к результатам Нейбера для двойного гиперболического выреза (см. § 64).