§ 77. Определение главных напряжений

Если известны компоненты напряжения для трех координатных плоскостей, то мы можем определить направления и величины главных напряжений, используя то свойство, что главные напряжения перпендикулярны к плоскостям, на которых они действуют. Обозначим через направляющие косинусы некоторой главной площадки, а через — величину главного

напряжения, действующего на ней. Тогда компоненты этого напряжения будут определяться формулами

Подставляя эти компоненты в уравнение (108), получаем

Это — три однородные линейные уравнения относительно неизвестных . Они дают решения, отличные от нуля только в том случае, если определитель системы уравнений равен нулю. Вычисляя этот определитель и приравнивая его нулю, получаем следующее кубическое уравнение относительно :

Три корня этого уравнения дают значения трех главных напряжений Подставляя каждое из этих напряжений в уравнения (а) и используя зависимость мы можем найти три системы направляющих косинусов для трех главных площадок.