Приложение I. ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Вывод конечно-разностных уравнений

Мы видели, что задачи теории упругости обычно сводятся к решению уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Эти уравнения допускают точное решение лишь для границ простой формы. Очень часто мы не можем получить точного решения и вынуждены обращаться к приближенным методам. В качестве одного из этих методов рассмотрим численный метод, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствующими уравнениями в конечных разностях.

Если гладкая функция задается рядом значений в равноотстоящих точках можно путем вычитания найти первые разности Разделив эти разности на длину промежутка между точками 6, получаем приближенные значения первой производной в соответствующих точках

Используя первые разности, можно найти вторые разности, если использовать следующие формулы:

С помощью вторых разностей получаем приближенные значения вторых производных

Если мы имеем гладкую функцию двух независимых переменных то по формулам, подобным (1) и (2), можно получить приближенные значения производных. Допустим, например, что рассматривается прямоугольная область (рис. 1) и что нам известны значения функции в узловых точках регулярной квадратной сетки с размером ячейки Тогда для определения приближенных значений частных производных функций в некоторой точке О можно использовать следующие выражения:

Рис. 1.

Подобным образом можно вывести также приближенные выражения для частных производных высших порядков. Имея такие выражения, можно преобразовать уравнения в частных производных к уравнениям в конечных разностях.

В качестве первого примера рассмотрим кручение призматических стержней. Как мы уже видели, задачу можно свести к интегрированию следующего дифференциального уравнения:

где — функция напряжений, которая вдоль границы поперечного сечения должна быть постоянной, — угол закручивания на единицу длины стержня и — модуль сдвига. Используя формулы (3), мы можем преобразовать это уравнение в следующее уравнение в конечных разностях:

Таким путем любая задача кручения сводится к определению

системы численных значений функции напряжений которая удовлетворяет уравнению (5) в каждом узле в пределах границы поперечного сечения и постоянна вдоль границы.

В качестве простейшего примера рассмотрим стержень квадратного поперечного сечения размером а (рис. 2) и воспользуемся сеткой конечных разностей с размером ячейки

Из симметрии заключаем, что в этом случае достаточно рассмотреть лишь одну восьмую часть поперечного сечения, заштрихованную на рисунке. Если мы определим значения функции в этих трех точках, показанных на рис. 2, то будем знать значения во всех узловых точках внутри заданной границы. Вдоль границы можно принять функцию равной нулю. Таким образом, задача сводится к определению трех значений для которых мы выпишем три уравнения в форме (5). Учитывая условия симметрии, получаем

Решая эти уравнения, находим

Рис. 2.

Таким образом, искомая функция напряжений определяется приведенными выше численными значениями во всех узловых точках внутри заданной области и равна нулю на ее границе.

Чтобы найти частные производные этой функции напряжений, представим себе гладкую поверхность, координаты которой в узловых точках имеют вычисленные значения. Наклон этой поверхности в любой точке даст нам соответствующее приближенное значение касательного напряжения при кручении. Максимальные напряжения действуют в серединах сторон контура сечения. Чтобы получить некоторое представление о точности, которой можно добиться с принятым малым числом узловых точек сетки, найдем вызванные кручением напряжения в точке О (рис. 2). Для получения необходимого наклона рассмотрим некоторую гладкую кривую, имеющую в узловых точках на оси х вычисленные значения а, и у. Эти значения, деленные на приведены во второй строке табл. 1.1. Остальные строки таблицы дают значения конечных разностей последовательно возрастающего

ТАБЛИЦА 1.1 (см. скан)

порядка. Искомая гладкая кривая дается интерполяционной формулой Ньютона

Беря производные от и подставляя значения взятые из таблицы и умноженные на получаем для

Сравнивая этот результат с точным значением, приведенным на стр. 318, видим, что ошибка в этом случае составляет около 4,3%.

Рис. 3.

Чтобы получить большую точность, нужно использовать более густую сетку. Приняв, например, (рис. 3), мы должны решить систему из шести уравнений; в результате получим

Используя теперь семь точек вдоль оси х и определяях) наклон в точке О, получаем для максимального касательного напряжения значение

Погрешность этого результата составляет около 2%. Имея результаты для , можно получить лучшее приближение с помощью экстраполяции. Можно показать, что погрешность в определении производной функции напряжений вызванная использованием конечно-разностных уравнений вместо дифференциальных, пропорциональна квадрату шага сетки, когда этот шаг мал. Если погрешность в определении максимального напряжения при обозначить через то при ее можно принять равной Используя вычисленные выше значения максимального напряжения, получаем из уравнения

откуда

Более точное значение напряжения составит тогда

что отличается от точного значения менее чем на 1/3%.