§ 65. Биполярные координаты

Задачи, связанные с двумя неконцентрическими круговыми границами, включающими в качестве частного случая круговое отверстие в полубесконечной пластинке, обычно требуют использования биполярных координат определяемых уравнениями

где а — действительная постоянная.

Заменяя на

н решая первое уравнение относительно легко показать, что оно эквивалентно в этом случае равенству

Рис. 120.

Величина на плоскости представляется отрезком прямой, соединяющим точки — и z, в том смысле, что проекции на оси дают действительную и мнимую части этой величины. Ту же величину можно представить в виде , где — длина отрезка, угол, который он составляет с осью х (рис. 120). Подобным образом — отрезок, соединяющий точки - можно представить как гаее (рис. 120). Тогда уравнение (б) принимает вид

откуда

Из рис. 120 можно видеть, что представляет собой угол между двумя прямыми, соединяющими полюсы с рассматриваемой точкой z, если она расположена справа от оси у,

и тот же угол с обратным знаком, если она лежит слева от у. Отсюда следует, что кривая является дугой окружности, проходящей через эти полюсы. Несколько таких окружностей показаны на рис. 120. Из уравнений (в) видно, что для кривой имеем Такая кривая также является окружностью. Она окружает полюс если превышает единицу, т. е. если I — положительная величина. Если же - отрицательно, она окружает другой полюс Некоторые из таких окружностей показаны на рис. 120. Они образуют семейство соосных окружностей с двумя полюсами в качестве предельных точек.

При переходе через отрезок у, соединяющий полюсы, координата изменяется от до . Диапазон ее изменения для всей плоскости составляет от до . Напряжения и перемещения при переходе через этот отрезок остаются постоянными, если они представлены периодическими функциями от с периодом

Разделение действительной и мнимой частей в уравнении (а) приводит к зависимостям

Дифференцирование уравнения (а) дает

и