§ 36. Сосредоточенная сила, приложенная в некоторой точке прямолинейной границы

Рассмотрим сосредоточенную вертикальную силу Р, приложенную к горизонтальной прямолинейной границе бесконечно большой пластинки (рис. 53, а). Распределение нагрузки по толщине пластинки является однородным, как показано на рис. 53, б. Толщина пластинки принимается равной единице, так что Р — нагрузка на единицу толщины пластинки.

Распределение напряжений зависит от сил, действующих на всей замкнутой границе, например , а не только от условий на Это справедливо и тогда, когда граница уходит на бесконечность.

Существует фундаментальное решение, называемое простым радиальным распределением напряжений. Любой элемент

положенный на расстоянии от точки приложения силы, подвергается простому сжатию в радиальном направлении. Компоненты напряжений определяются при этом формулами

Окружные напряжения и касательные напряжения равны нулю. Легко видеть, что указанная система напряжений удовлетворяет уравнениям равновесия (37).

Рис. 53.

Граничные условия на также удовлетворяются, так как компоненты и равны нулю вдоль прямолинейного края пластинки, который свободен от усилий, за исключением точки приложения силы Результирующая усилий, действующих на цилиндрическую поверхность радиуса (рис. 53, б), должна уравновешивать силу Р. Она получается путем суммирования вертикальных компонент действующих на каждый элемент поверхности. Таким путем находим

Для доказательства того, что (65) является точным решением задачи, следует рассмотреть также условия совместности (39). Приведенное выше решение получается из функции напряжений

Это можно проверить, используя формулы (38) следующим образом:

что совпадает с решением (65). Подставляя функцию (а) в

уравнение (39), можно легко показать, что это уравнение удовлетворяется.

Это решение требует определенного распределения усилий на остальной части границы. Если этой остальной частью является, например, полуокружность некоторого радиуса то требуемая сила определяется формулами (65) при

Выбирая окружность произвольного диаметра с центром на оси х и касательную к оси у в точке О (рис. 53, а), для любой точки окружности С имеем Отсюда, согласно уравнению (65),

т. е. напряжения во всех точках окружности остаются одинаковыми, за исключением точки приложения нагрузки О.

Рис. 54.

Рассмотрим горизонтальную плоскость находящуюся на расстоянии а от прямолинейного края пластинки: нормальные и касательная компоненты напряжений в произвольной точке М на этой плоскости (рис. 53, а) определятся из условия простого сжатия в радиальном направлении

На рис. 54 представлено графически распределение напряжений вдоль горизонтальной плоскости

В точке приложения нагрузки напряжение теоретически неограниченно велико, поскольку конечная сила в этой точке

ствует на бесконечно малой площади. В действительности нагрузка распределяется по площадке хотя и малой, но конечной ширины. В силу этого может происходить локальное пластическое течение. Однако даже в этом случае пластическую зону можно вообразить выделенной цилиндрической поверхностью малого радиуса, как показано на рис. 53, б. Уравнения теории упругости в этом случае можно применять к остальной части пластинки.

Аналогичное решение можно получить и для горизонтальной силы Р, приложенной к прямолинейной границе полубесконечной пластинки (рис. 55). Компоненты напряжений для этого случая даются теми же уравнениями (65); однако угол в них нужно при этом измерять от направления силы, как показано на рис. 55.

Рис. 55.

Рис. 56.

Находя результирующую всех сил, действующих на цилиндрическую поверхность, изображенную на рис. 55 пунктирной линией, получаем

Эта результирующая уравновешивает внешнюю силу Р, а поскольку компоненты напряжения на прямолинейной границе равны нулю, то решение (65) удовлетворяет граничным условиям.

Имея решения для вертикальной и горизонтальной сосредоточенных сил, можно с помощью суперпозиции получить решения для наклонных сил. Разлагая наклонную силу Р на две компоненты, вертикальную а и горизонтальную (рис. 56), из уравнений (65) получаем формулу для радиального напряжения в любой точке в виде

Таким образом, уравнения (65) можно использовать для любого направления силы, если в каждом случае измерять угол от направления действия силы.

Функцию напряжений (а) можно использовать также в случае, когда к прямолинейному краю полубесконечной пластинки приложена пара сил

(рис. 57, а). Легко видеть, что функцию напряжений для случая, когда в точке на расстоянии а от начала координат действует растягивающая сила Р, можно получить из формулы (а) для если считать функцией х и у вместо , записать вместо у, а также —Р вместо Р. Комбинируя эту и первоначальную функцию напряжений можно получить функцию напряжений для двух равных по величине и противоположных по знаку сил, приложенных в точках в виде

Когда расстояние остановится очень малым, эта величина приближается к производной

Рис. 57.

Подставляя (а) и (б) и учитывая, что (см. стр. 84)

находим

где М — момент приложенной пары.

Рассуждая таким же образом, находим, что производная дает функцию напряжений для случая, когда в двух точках на очень малом расстоянии а приложены две пары с равными по величине и противоположными по знаку моментами М (рис. 57, б). Для этого случая находим

При изменении направления вращения приложенных пар на обратные необходимо лишь изменить знак функции (69).

Ряд функций напряжений, полученных последовательным дифференцированием, использовался для решения задачи о концентрации напряжений, вызванной полукруглым вырезом в полубесконечной пластинке, находящейся под действием растягивающих напряжений, параллельных краю. Максимальное растягивающее напряжение при этом чуть больше чем в три раза, превышает невозмущенное растягивающее напряжение, действующее вдалеке от выреза. Исследовалась также полоса с полукруглыми вырезами на каждом крае. Коэффициент концентрации напряжений (отношение максимального

напряжения в минимальном сечении к среднему) с ростом размеров вырезов падает ниже трех и приближается к единице.

Зная распределение напряжений, можно обычным путем получить соответствующие перемещения с помощью уравнений (48)-(50). Для силы, нормальной к прямолинейной границе (рис. 53), имеем

Интегрируя первое из этих уравнений, находим

где - функция одной только переменной 0. Подставляя (г) во второе уравнение (в) и интегрируя, получаем

где функция зависит только от одной переменной Подставляя (г) и (д) в третье уравнение (в), заключаем, что

где А, В и С — постоянные интегрирования, которые определяются из условий закрепления. Выражения для перемещений, согласно уравнениям (г) и (д), имеют вид

Допустим, что условия закрепления полубесконечной пластинки (рис. 53) таковы, что точки оси х не имеют поперечных перемещений. Тогда при , согласно второй из формул (ж), получаем, что При этих значениях постоянных интегрирования вертикальные перемещения точек оси определяются формулой

Чтобы определить постоянную В, допустим, что некоторая точка оси х на расстоянии от начала координат не имеет вертикального

перемещения. Тогда из уравнения (и) находим

Имея значения всех постоянных интегрирования, можно по формулам (ж) определить перемещения любой точки полубесконечной пластинки.

Рассмотрим, например, перемещения точек на прямолинейной границе пластинки. Горизонтальные перемещения можно получить, полагая в первом из выражений (ж). Отсюда получаем

Таким образом, все точки прямолинейной границы имеют постоянное перемещение, направленное в сторону начала координат. Мы можем считать такое перемещение физически возможным, если припомним, что вокруг точки приложения силы Р мы мысленно удалили часть материала, ограниченную цилиндрической поверхностью малого радиуса (рис. 53), в пределах которой уравнения теории упругости теряют силы. В действительности, конечно, произойдет пластическая деформация этого материала; в силу этого можно допустить существование вдоль прямолинейной границы перемещений, определяемых формулами (70). Вертикальные перемещения на прямолинейной границе получаются из второго выражения (ж). Учитывая, что перемещение считается положительным, если оно направлено в сторону увеличения , и что деформация симметрична относительно оси х, найдем вертикальные перемещения, направленные вниз, на расстоянии от начала координат в виде

В начале координат, согласно этой формуле, возникает неограниченно большое перемещение. Для возможности физического объяснения этого, как и ранее, следует предположить, что часть материала вокруг точки приложения нагрузки вырезана цилиндрической поверхностью малого радиуса. Для других точек границы уравнение (71) дает конечные перемещения.