§ 9. Полярное разложение

Любой тензор второго ранга может быть представлен как

где тензор поворота, симметричные положительные тензоры положителен, если для любого будет

Вывод (9.1) начнем констатацией положительности тензора

Этот тензор к тому же симметричен. Следовательно,

где декартов базис главных осей, а главные значения. Положим далее

также симметричный и положительный тензор.

Первое из равенств (9.1) будет доказано, если окажется тензором поворота. Так и есть:

Имеем действительно поворот без отражения, поскольку

(т. е. равен 1, а не —1).

Второе равенство в (9.1) сразу получается из первого, если положить

Это “повернутый тензор U”: у него те же главные значения (и главные инварианты), но повернуты главные оси.

Вводя соответствующие обозначения, можно записать