§ 13. Интегральные теоремы

Для векторных полей известны интегральные теоремы Гаусса и Стокса. В теореме Гаусса о дивергенции рассматривается поток вектора через замкнутую поверхность О с ортом внешней нормали ограничивающую объем V

В курсе Фейнмана [105] можно найти следующую ясную трактовку этой теоремы. Объем V разбивается тремя семействами поверхностей на множество малых элементов. Поток через поверхность О равен сумме потоков через границы элементов. С достаточной

точностью эти элементы можно считать кубиками. Нетрудно подсчитать поток вектора из малого кубика с объемом он равен

Теорема Стокса о циркуляции выражается равенством

Слева — циркуляция вектора по замкнутому контуру С. Справа — поток ротора через поверхность О, натянутую на С. Направление обхода С согласовано с направлением тем же правилом винта, что и в векторном произведении: для завинчивания в направлении следует вращать винт в направлении обхода.

Заметим, что поток ротора в (13.2) одинаков для всех поверхностей, натянутых на С. Это можно показать с помощью (13.1). Возьмем две поверхности 0] и пусть рассмотрим поток через замкнутую поверхность ограничивающую объем V

Орт N внешней нормали равен на на равенство потоков доказано.

Но как доказывается (13.2)? Следуя [105], проведем на О два семейства линий, разбивая ее на малые элементы. Циркуляция по контуру С равна сумме циркуляций по границам элементов. Но циркуляция по четырехугольной границе малого элемента равна, как можно показать

Все это относилось к векторам. Но легко установить, что (13.1) и (13.2) справедливы для тензоров любого ранга. Возьмем, например, вместо а тензор

Орты в равенствах (13.1) и (13.2) пассивно стоят в конце выражений, а в действиях участвуют лишь векторы .