§ 3. Закон Гука

То соотношение между напряжением и деформацией, которое Р. Гук в XVII веке мог высказать лишь в весьма неопределенной форме, в современных обозначениях записано в (1.1) и определяется тензором

Очевидная симметрия снижает число независимых компонент с 81 до 21. Это число уменьшается при наличии материальной симметрии.

В декартовой системе х, у, z имеем следующее громоздкое представление энергии:

Пусть материал имеет плоскость симметрии (упругих свойств) Очевидно, при этом не должна меняться при замене и на противоположные по знаку. Следовательно,

— число независимых констант упало до 13.

Пусть далее плоскостями симметрии являются Поскольку не чувствительна к знаку дополнительно к (3.2) получим

— осталось 9 констант.

Ортотропным называется материал с тремя ортогональными плоскостями симметрии — пусть это координатные плоскости системы Можно убедиться, что (3.2) и (3.3) — это весь набор ограничений в этом случае. Итак, ортотропный материал характеризуется девятью константами, и для “ортотропности” достаточно двух перпендикулярных плоскостей симметрии.

Еще один случай анизотропии — трансверсально изотропный материал. Он характеризуется осью анизотропии — пусть это любая плоскость, параллельная z, должна быть плоскостью материальной симметрии. Ясно, что этот материал ортотропен. Но есть большее: не меняется при любом повороте вокруг оси Следовательно,

(мы учли, что при малом повороте с вектором вариация равна направлен по Распишем это равенство в компонентах и учтем, что оно должно выполняться при любых деформациях:

Представив тензор напряжений в виде

можем записать закон Гука для трансверсально-изотропного материала:

Имеем пять упругих констант.

Мы не рассматриваем здесь различные виды симметрии кристаллов (триклинная система, моноклинная, ромбическая и др.) [112]. Отметим лишь, что каждый случай симметрии характеризуется набором ортогональных тензоров (т. е. удовлетворяющих уравнению повороты и отражения) и выполнением равенства

для любого

Остановимся далее на изотропном материале. Для него (3.6) удовлетворяется при любом ортогональном тензоре Проще сразу учесть, что становится изотропной функцией, т. е. зависит лишь от главных инвариантов:

Поскольку квадратичная форма, то из набора аргументов исключен.

Рассмотрим подробнее (3.7), Обратим его:

Здесь представлены формы закона Гука с различными парами констант: параметры Ляме, модуль сдвига, коэффициент Пуассона, К — объемный модуль, модуль Юнга.

Можно высказать априорные ограничения на значения упругих констант:

растягиваемый образец удлиняется, сдвиг должен быть направлен в ту же сторону, что и касательное напряжение; объем при внешнем давлении должен уменьшаться. Неравенства (3.9) достаточны для положительности При сводятся к ограничению на коэффициент Пуассона: Необъяснимые отрицательные значения не считаются невозможными [53]. При материал становится несжимаемым —

Сопоставляя (3.7) и (1.1), заключаем, что для изотропной среды

имеем изотропный тензор четвертого ранга, поскольку его компоненты не меняются при повороте базиса.

В заключение отметим соотношения

преобразование Лежандра (2.5.9). “Дополнительная энергия” в линейной модели численно равна