§ 6. Плоская деформация

Все переменные в этой постановке не зависят от декартовой координаты (орт оси — ). Перемещения и силы перпендикулярны оси z, а повороты и моменты — параллельны ей:

Материал предполагается изотропным и однородным, но возможно обобщение: например, сохраняя изотропию, допустить зависимость свойств от

Оператор Гамильтона становится двумерным а выражения тензоров деформации упрощаются:

Определим далее напряжения из соотношений упругости (2.2) при потенциале (2.3)

Подчеркнутые слагаемые выпадают из уравнений баланса сил и моментов

и не входят в граничные условия на цилиндрической поверхности (с образующей, параллельной оси

Уравнения совместности (3.3) и (3.4) также упрощаются:

Выразив здесь деформации через напряжения, получим аналог уравнений Бельтрами-Мичелла (§ 4.8) для плоской моментной задачи:

(см. скан)

Уравнения в напряжениях эффективны во второй краевой задаче (на границе заданы лишь нагрузки и . При отсутствии объемных

нагрузок возможно дальнейшее упрощение постановки задачи, поскольку уравнения баланса (6.3) позволяют ввести функции напряжений:

Если в классической “безмоментной” плоской задаче имеем одну функцию Эри, то теперь это пара три функции в компонентах. Установив соотношения

из уравнений совместности (6.6) и (6.7) получим

Вспоминая о соотношении жесткостей и масштабе длины видим: При напрашивается и приходим к классическому представлению .

Представленное краткое изложение плоской задачи относится к модели с независимыми поворотами. Псевдоконтинуум Коссера (по другой терминологии — модель со стесненным вращением) получается либо при наложении внутренней связи либо при предельном переходе Соотношение упругости для при этом отпадает.

Подробно о плоской моментной задаче можно прочесть у Н.Ф. Морозова [62, 63].