§ 2. Расщепление в линейной алгебраической системе

Этот простой случай очень поучителен. Он служит хорошей иллюстрацией асимптотических явлений. Рассматривается линейная система

с матрицей С и столбцами неизвестных и нагрузок Процесс построения асимптотического решения определяется тем, выражена матрица или нет. Возможны три случая. т. е. задача

имеет лишь тривиальное (нулевое) решение. Матрица обратима, неоднородная задача всегда однозначно решима. Решение строится очевидным образом:

Главный член асимтотики полностью определяется на первом же шаге. Каждый из последующих шагов дает соответствующую поправку Этот случай малоинтересен.

произвольна. Сразу отметим, что теперь задача (2.2) нетривиально разрешима. Пусть линейно-независимые решения (2.2), , а — их аналоги для сопряженной системы с матрицей

Решение может быть таким:

На первом шаге находится лишь отчасти — как линейная комбинация с неизвестными коэффициентами Но на втором шаге вступают в действие условия разрешимости — из них и определяется

Однако решение (2.3) не пройдет, если матрица окажется вырожденной. Тогда разложение придется начинать с членов (т. е. порядка ), и условия разрешимости сыграют свою роль лишь на третьем шаге. Возможно, и это не поможет; тогда начнем с и т. д.

разрешима. Процесс ясен из следующих соотношений:

Здесь частное решение соответствующей неоднородной задачи. В случаях 2 и 3 мы встретились с замечательным явлением асимтотического расщепления. Исходная задача (2.1) расщепляется на следующие три: однородную задачу с матрицей для сопряженную однородную для неоднородную с матрицей для Решение этих трех задач при заменяет исходную подстановку (2.1). В последующих главах мы увидим эффективные применения подобной методики ресщепления. В данной же главе мы рассмотрим ряд специальных асимптотических методов, но все они будут напоминать расщепление.