§ 12. Задача Сен-Венана

Трудно переоценить ту роль, которую играет в механике стержней классическое решение Сен-Венана. О нем уже шла речь в § 4.13 (там

же соответствующий рис. 15), Вместо условий (4.13.2) рассмотрим общий случай

Помимо кручения (из § 4.13), здесь содержатся изгиб (моментом), изгиб силой и растяжение—сжатие. В произвольном сечении имеем следующие соотношения с вектором напряжения

Это очевидно (но может быть выведено из уравнений в объеме и граничных условий). Мы начинаем рассмотрение трехмерной модели стержня.

Как и в § 4.13, эффективнее постановка в напряжениях. Решение будем искать в виде

Действуя как в (4.13.4), (4.13.5), получим

причем а и линейные функции z (тогда не зависит от z, так что двумерные.

Вычислив по растягивающую силу и изгибающий момент найдем

Ось z проходит через центры тяжести сечений — введено обозначение Дифференцируя и учитывая (12.2), определим

Осевое напряжение найдено, приступим к решению уравнений (12.4) для вектора На свободном контуре сечения (рис. 13, § 4.12)

Используя представление векторного поля в плоскости

из (12.4) получим

константа а появилась так же, как в § 4.13. При отсутствии перерезывающей силы и уравнение для V приобретает известный по задаче о кручении вид.

Граничное условие (12.7) преобразуем следующим образом:

Подчеркнутое не следует из (12.7), но достаточно для его удовлетворения. Переход связан с тем, что сечение односвязное, а V определена с точностью до аддитивной константы. Ясно, что (12.8) есть решение задачи для если найдены из (12.9) и (12.10).

Константа а определяется по крутящему моменту Имеем

(использованы теорема о дивергенции и равенство Контурный интеграл в (12.11) исчезает, а для двух остальных интегралов имеем формулы

Эти формулы вытекают из равенства

при функция напряжений при кручении функция депланации.

Используя (12.12) в (12.11), получим

где геометрическая жесткость на кручение.

Допустим, что нагрузка на торце представлена одной лишь сосредоточенной силой. Определив центр изгиба как точку, при

приложении силы в которой будет получим выражение радиус-вектора центра изгиба

Найдя напряжения, можно далее определить перемещения интегрированием соотношений закона Гука

Подставив в правую часть найденное х, придем к системе

Из (12.15) следует

Функции пока произвольны. Но подставим (12.17) в (12.16). Взяв от обеих частей получившегося равенства ротор получим Взяв же дивергенцию придем к уравнению

Отделяя далее в (12.16) функции только z и только х, получим

Уравнение (12.19) определяет как прогиб в элементарной теории балки; отброшенная константа соответствует перемещению твердого тела. Равенство (12.20) — условие Коши-Римана для сопряженных гармонических функций. Депланацию можно определить простым интегрированием по и V, минуя (12.18).

Мы рассмотрели случай односвязного сечения. Решение для многосвязного сечения также известно; авторская трактовка содержится в [30].