§ 5. Классическая теория

Вышеизложенная теория (напоминающая балку Тимошенко и континуумы Коссера) рассматривает в независимо от и. Но обыденный опыт подсказывает: материальный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается таковым и после (кинематическая гипотеза Кирхгофа). В классической теории Кирхгофа, Арона и Лява выражается через и, что в конце концов позволяет все свести к одному векторному уравнению для и.

Можно предположить, что в основе классической теории лежит внутренняя связь

Соотношения упругости для при этом не могут быть написаны, т. к. исчезает вариационная основа для них (см. в (4.5)). Можно считать также, что модули и устремляются к бесконечности. Последнее неудивительно по соображениям размерности: например, масштаб А, порождаемый отношением модулей, мал (см. § 4.10).

Связь (5.1) эквивалентна следующему представлению поворота:

Это равенство выдерживает проверку на перемещении твердого тела

Другая проверка — кинематической гипотезой Кирхгофа. Когда получает приращение равенство должно сохраниться:

Это же следует и из (5.2). При описании поворота нормали не играет роли, эту компоненту из гипотезы Кирхгофа не найти.

Дадим сводку уравнений теории оболочек классического типа:

Эта система сводится к одному векторному уравнению для и следующим образом:

— с помощью выражаем через ;

— посредством связываем

— используя определяем

— найденные и подставляем в

Все неизвестные являются дифференциальными операторами над и — первого порядка, и второго, третьего; в итоговом уравнении имеем оператор четвертого порядка.

Для уравнения четвертого порядка на границе следует ставить два условия (векторных). Корректная постановка граничных условий возможна вариационным путем; на свободном контуре имеем произвольные вариации что ведет к двум условиям (на несвободном контуре задаются и или с соответствующими силовыми факторами, — или же и

Полагая, что упругие модули оболочки и пластины совпадают, будем считать

Эти выражения отвечают асимптотике в пластине:

Описанный вариант классической теории отсутствует в распространенных руководствах по механике оболочек. Разбираясь в громоздких выкладках (без прямого тензорного исчисления), характерных для большинства книг, чйтатель найдет, однако, много общего с представленным вариантом.