§ 5. Векторное произведение и тензор Леви-Чивита
Сохраним обычные представления о векторном произведении векторов. Оно направлено перпендикулярно плоскости сомножителей, а модуль его равен площади соответствующего параллелограмма:
Векторное произведение 
называется псевдовектором, поскольку содержит произвол: тройка 
с может быть либо правой, либо левой. Примем первое (правило “правого винта”).
Различие векторов и псевдовекторов накладывает ограничения на вид формул: нельзя складывать векторы и псевдовекторы. Формула кинематики твердого тела 
корректна, поскольку во втором слагаемом «два “псевдо” взаимно уничтожаются».
Однако векторное произведение можно не считать самостоятельным действием. Оно сводится к четырем ранее описанным и обобщается на тензоры любого ранга. Чтобы показать это, введем сначала символы Леви-Чивита
Поскольку рассматриваем пока лишь правые ортогональные тройки ортов, то при нашем соглашении о направлении векторного произведения будет 
Символы не меняются при круговой перестановке индексов, меняют знак при перестановке любых двух индексов и обращаются в нуль при совпадении какой-либо пары.
Легко убедиться, что — это компоненты тензора третьего ранга, поскольку для них выполняется соответствующий закон преобразования 
Тензор Леви-Чивита 
изотропен, т. к. его компоненты не меняются при повороте базиса. Но при замене правила винта 
меняет знак и потому является псевдотензором.
Справедливо важное соотношение
Доказательство начнем с представлений символов Леви-Чивита как смешанных произведений:
В левой части (5.2) имеем произведение этих определителей. 
определитель произведения матриц равен произведению определителей. В матрице-произведении элемент 
равен 
как и в (5.2); также легко проверить и другие фрагменты (5.2). Свертка (5.2) приводит к полезным формулам
Первая формула дает известное представление двойного векторного произведения
Тензор 
позволяет по-новому взглянуть на векторное произведение
Здесь видим лишь комбинацию умножения и свертки с участием 
Такие комбинации возможны с тензорами любого ранга:
Последнее равенство достойно внимания как связь изотропных тензоров второго и третьего ранга.
