§ 2. Классические задачи о стержнях

Состояние перед варьированием описывается уравнениями нелинейной теории стержней Кирхгофа (§ 8.5):

Соответствующие уравнения в вариациях (§ 8.7).

Задача о предельной высоте колонны. Вертикально расположенный консольный стержень нагружен собственным весом. Декартову ось z направим по вертикали вверх. Вес единицы длины стержня нагрузка не меняется при деформировании (“мертвая”). В задачах устойчивости очень важно знать поведение нагрузки [106]. Перед потерей устойчивости имеем недеформированное напряженное состояние, в котором Из (2.2) следует

Граничные условия таковы:

При этом и для получаем задачу на собственные значения

Критической нагрузкой является то минимальное значение при котором возникает нетривиальное решение.

Пусть Тогда

Подобные уравнения интегрируются в бесселевых функциях [35]:

В (2.4) . Для постоянных С, и из граничных условий следует линейная однородная алгебраическая система. Равенство нулю ее определителя ведет к уравнению для критических параметров

Первый корень бесселевой функции равен 1,86, так что предельная высота

При этом считалось, что меньшая изгибная жесткость. Опрокидывание балки. Стержень в виде прямоугольного параллелепипеда защемлен на торце и нагружен мертвой силой на свободном конце (рис. 31).

Рис. 31

Жесткость на изгиб в плоскости х, у настолько велика, что состояние перед потерей устойчивости можно считать недеформированным. В нем

Уравнения (2.2) примут вид

Учитывая граничные условия и приходим к следующей системе

При граничных условиях отсюда имеем и тогда

Это — частный случай (2.5) с ахау, Подчиняя общее решение (2.5) граничным условиям получим уравнение

поскольку первый корень равен 2,006.

Устойчивость кольца при внешнем давлении. Будем считать, что деформация кольца возможна лишь в своей плоскости Перед потерей устойчивости имеем недеформированное, но напряженное круговое кольцо с силовыми факторами давление; к — кривизна, орты касательной и главной нормали). Векторы лежат в плоскости кольца, а и ей перпендикулярны: Нагрузка все время имеет вид тогда ее вариация

Уравнения (2.2) в соответствующих компонентах таковы:

Экспоненциальные частные решения этой системы д.) должны иметь период вследствие замкнутости кольца. Поэтому характеристическое уравнение системы (2.8) обязано иметь корни где целое. Получив таким образом соотношение между обнаружим, что нетривиальное решение с деформацией возникает при критическим будет

Сжатый стержень на упругом основании. Прямой стержень с шарнирными опорами на концах сжат продольной силой Перед потерей устойчивости имеем недеформированное напряженное состояние, в котором (орт декартовой оси х вдоль стержня), При малых смещениях и возникает реакция упругого основания где с — жесткость. При постоянном тензоре а с главными осями х, у, z (перед варьированием) получим следующую задачу на собственные значения:

Если изгиб происходит в плоскости то Разыскивая экспоненциальные частные решения получим а Построив общее решение как линейную комбинацию частных и обратившись к граничным условиям, найдем . При этом

Рис. 32

При заданных параметрах с критической является та минимальная нагрузка, которая удовлетворяет (2.11) при каком-либо целом Рис. 32 иллюстрирует выбор по трем линейным зависимостям Граница области устойчивости отмечена штриховкой.

В связи с этим решением иногда говорят, что “форма потери устойчивости не обязательно безузловая”. В нашем изложении подобное излишне, если вообще уместно — ищется лишь критическая нагрузка.

Скрученный вал. Прямой стержень защемлен на конце и имеет цилиндрический шарнир на конце где приложен крутящий момент Н (рис. 33). Жесткости на изгиб равны: поэтому перед варьированием — как

Рис. 33

в недеформированном состоянии. При этом Используя (2.2) и граничные условия, придем к следующей задаче на собственные значения для комплексной комбинации перемещений

Характеристическое уравнение для (2.12)

имеет первый нетривиальный корень такова критическая комбинация параметров.