§ 5. Формулы Эшелби

Итак, эффективные модули определяются энергией представительного объема в первой или второй задачах:

Эшелби предложил изощренный способ вычисления сводящийся к интегрированию по некоторой поверхности [45].

Предполагается, что представительный объем состоит из включения и однородной среды-матрицы (рис, 54, слева). С теми же граничными условиями рассмотрим другую задачу, в которой вместо включения — материал матрицы. Введем разности решений (ноликом обозначено решение для однородного тела). Энергию объема можно тогда представить в виде

Рис. 54

Но слагаемое исчезает в обеих задачах из § 3:

поскольку в первой задаче а во второй Рассмотрим задачу с граничным условием (3.1). При этом

Окружим включение поверхностью с внешней нормалью Объем внутри содержит включение и часть матрицы — обозначим объем снаружи (весь в матрице) — . В объеме упругие модули в обеих задачах (рис. 54) одинаковы, и тогда

Следовательно,

Здесь внутренняя и наружная стороны 2. Нормаль направлена “из объема”: . На внешней границе ее вклада в (5.3) нет. Учитывая, наконец, элементарное равенство

из (5.3), (5.2) и (5.1) получим первую формулу Эшелби

Обратимся теперь ко второй задаче для представительного объема — с условием (3.3). Теперь Подобно вышеизложенному выводится вторая формула

Формулы (5.4) и (5.5) различаются знаком второго слагаемого, что удивляет. Однако все станет ясно, если вспомнить выражение функционала энергии и теорему Клапейрона:

Для граничных условий первого рода Для условий же второго рода поэтому вторая формула Эшелби по сути совпадает с первой.

Это формулы выведены до компьютерной революции. Из основного вычислительного средства они превращаются в вспомогательное, оставаясь образцом аналитической изобретательности.